Part VI — Glossary (Eigenvalues, Eigenvectors ও Decompositions)
Part VI-এর সাত chapter-এ (6.1–6.7) প্রথম দেখা সব গুরুত্বপূর্ণ term এক টেবিলে — chapter অনুযায়ী সাজানো।
Chapter 6.1 — Determinant
| English Term |
বাংলা |
এক লাইনে অর্থ |
| Determinant |
নির্ণায়ক (ডিটারমিন্যান্ট) |
Square matrix-এর একটাই সংখ্যা: রূপান্তরে area/volume কতগুণ হয় তার signed scale factor |
| Minor |
মাইনর |
\(i\)-নং row ও \(j\)-নং column কেটে ফেলার পর যে ছোট matrix থাকে, তার determinant (\(M_{ij}\)) |
| Cofactor |
কোফ্যাক্টর |
Minor-এর সাথে দাবার-বোর্ড চিহ্ন: \(C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\) |
| Cofactor Expansion |
কোফ্যাক্টর এক্সপ্যানশন |
যেকোনো row/column ধরে বড় determinant-কে ছোট determinant-এ ভাঙা: \(\det A = \sum_j a_{ij}C_{ij}\) |
| Singular Matrix |
সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স |
\(\det = 0\)-ওয়ালা matrix — জায়গা চ্যাপ্টা করে ফেলে, inverse নেই |
| Orientation Flip |
ওরিয়েন্টেশন উল্টানো |
\(\det < 0\)-এর মানে: রূপান্তরটা জায়গাকে আয়নার মতো উল্টে দিয়েছে |
| Product Rule (of det) |
প্রোডাক্ট রুল |
\(\det(AB) = \det A \cdot \det B\) — scale factor-রা গুণ হয় |
| Parallelepiped |
প্যারালেলেপাইপড |
তিন vector-এ গড়া হেলানো ইট — এর signed আয়তনই \(3\times3\) determinant |
| Jacobian |
জ্যাকোবিয়ান |
Calculus-এ variable বদলানোর সময় "স্থানীয় area/volume scale" মাপা determinant |
| Shoelace Formula |
জুতার-ফিতা সূত্র |
Polygon-এর কোণার স্থানাঙ্ক থেকে ক্ষেত্রফল — ভেতরে ভেতরে determinant-এরই হিসাব |
Chapter 6.2 — Eigenvalues ও Eigenvectors
| English Term |
বাংলা |
এক লাইনে অর্থ |
| Eigenvector |
আইগেনভেক্টর |
যে nonzero vector matrix-এর ধাক্কায় দিক বদলায় না, শুধু scale হয়: \(Av = \lambda v\) |
| Eigenvalue |
আইগেনভ্যালু |
Eigenvector-টা কতগুণ লম্বা/খাটো হলো — সেই scale factor \(\lambda\) |
| Eigenspace |
আইগেনস্পেস |
একই \(\lambda\)-র সব eigenvector + শূন্য vector: \(E_\lambda = N(A - \lambda I)\), একটা subspace |
| Characteristic Polynomial |
ক্যারেক্টারিস্টিক পলিনোমিয়াল |
\(\det(A - \lambda I)\) — এর root-গুলোই eigenvalue |
| Trace |
ট্রেস |
Diagonal entry-দের যোগফল; সবসময় \(= \sum\lambda_i\) — হাতের হিসাবের ফ্রি চেক |
| Algebraic Multiplicity |
অ্যালজেব্রেয়িক মাল্টিপ্লিসিটি |
Characteristic polynomial-এ root \(\lambda\) কতবার এসেছে |
| Geometric Multiplicity |
জিওমেট্রিক মাল্টিপ্লিসিটি |
\(\dim E_\lambda\) — ওই \(\lambda\)-র কয়টা independent eigenvector আছে |
| Defective Matrix |
ডিফেক্টিভ ম্যাট্রিক্স |
Geometric < algebraic multiplicity — eigenvector ঘাটতিওয়ালা matrix (যেমন shear), diagonalize হয় না |
| Power Iteration |
পাওয়ার ইটারেশন |
বারবার \(A\) গুণ + normalize — সবচেয়ে বড় \(\vert \lambda\vert\)-র eigenvector-এ পৌঁছানোর algorithm (PageRank-এর প্রাণ) |
Chapter 6.3 — Diagonalization
| English Term |
বাংলা |
এক লাইনে অর্থ |
| Diagonal Matrix |
ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স |
Diagonal-এর বাইরে সব শূন্য — যার power/inverse/সবকিছু entry ধরে ধরে হয় |
| Diagonalization |
ডায়াগোনালাইজেশন |
\(A = PDP^{-1}\) — eigenvector-চশমা পরলে matrix-টা নিছক diagonal সংখ্যার তালিকা |
| Diagonalizable |
ডায়াগোনালাইজেবল |
যে matrix-এর \(n\)টা independent eigenvector আছে — \(A = PDP^{-1}\) লেখা সম্ভব |
| Eigenbasis |
আইগেনবেসিস |
পুরো space-এর এমন basis যার প্রতিটা vector-ই \(A\)-র eigenvector |
| Similar Matrices |
সিমিলার ম্যাট্রিসেস |
\(B = P^{-1}AP\) — একই transformation, ভিন্ন চশমায়; eigenvalue-রা অভিন্ন |
| Markov Matrix |
মার্কভ ম্যাট্রিক্স |
প্রতি column-এর যোগফল \(1\), entry \(\geq 0\) — সম্ভাবনার প্রবাহ; \(\lambda = 1\) গ্যারান্টিড |
| Steady State |
স্টেডি স্টেট |
Markov chain-এ অনন্তকাল পরের স্থির বিন্যাস — \(\lambda = 1\)-এর eigenvector |
| Matrix Exponential |
ম্যাট্রিক্স এক্সপোনেনশিয়াল |
\(e^{At} = Pe^{\Lambda t}P^{-1}\) — differential equation system-এর সমাধান-যন্ত্র |
| Jordan Block |
জর্ডান ব্লক |
Defective matrix-দের জন্য diagonalization-এর "যতটুকু সম্ভব" সংস্করণের building block |
Chapter 6.4 — Symmetric Matrices ও Spectral Theorem
| English Term |
বাংলা |
এক লাইনে অর্থ |
| Spectral Theorem |
স্পেকট্রাল থিওরেম |
Symmetric matrix মানেই: সব eigenvalue real, আর orthonormal eigenvector-এ \(A = Q\Lambda Q^T\) |
| Spectral Decomposition |
স্পেকট্রাল ডিকম্পোজিশন |
\(A = \sum\lambda_iq_iq_i^T\) — symmetric matrix-কে লম্ব rank-1 স্তরে ভাঙা |
| Orthogonal Diagonalization |
অর্থোগোনাল ডায়াগোনালাইজেশন |
\(P^{-1}\)-এর বদলে \(Q^T\) — rotation-চশমাতেই diagonalize করা (শুধু symmetric-এ সম্ভব) |
| Gram Matrix |
গ্রাম ম্যাট্রিক্স |
\(A^TA\) — সবসময় symmetric ও positive semidefinite; least squares থেকে SVD সবখানে হাজির |
| Covariance Matrix |
কোভ্যারিয়ান্স ম্যাট্রিক্স |
ডেটার ছড়ানো-জড়ানোর symmetric matrix — \((i,j)\) entry = feature \(i\) ও \(j\)-এর covariance |
| Adjacency Matrix |
অ্যাডজেসেন্সি ম্যাট্রিক্স |
Graph-এর সংযোগ-তালিকা matrix আকারে: \((i,j) = 1\) যদি \(i\)–\(j\) edge থাকে |
| Graph Laplacian |
গ্রাফ লাপ্লাসিয়ান |
\(L = D - A\) — network-এর "কম্পন-matrix"; eigenvalue-রা বলে দল কয়টা |
| Spectral Clustering |
স্পেকট্রাল ক্লাস্টারিং |
Laplacian-এর ছোট eigenvalue-র eigenvector দিয়ে network-এ community খুঁজে বের করা |
| English Term |
বাংলা |
এক লাইনে অর্থ |
| Quadratic Form |
দ্বিঘাত রূপ (কোয়াড্রাটিক ফর্ম) |
\(Q(x) = x^TAx\) — matrix দিয়ে লেখা দ্বিঘাত রাশি, যার landscape bowl/saddle/পাহাড় |
| Positive Definite |
পজিটিভ ডেফিনিট |
সব nonzero \(x\)-এ \(x^TAx > 0\) — নিখুঁত bowl; সব eigenvalue \(> 0\) |
| Positive Semidefinite |
পজিটিভ সেমিডেফিনিট |
\(x^TAx \geq 0\) — bowl, তবে কোনো দিকে চ্যাপ্টা মেঝে থাকতে পারে; eigenvalue \(\geq 0\) |
| Negative Definite |
নেগেটিভ ডেফিনিট |
সব দিকে \(x^TAx < 0\) — উল্টানো bowl (পাহাড়চূড়া); সব eigenvalue \(< 0\) |
| Indefinite |
ইনডেফিনিট |
কোনো দিকে ধনাত্মক, কোনো দিকে ঋণাত্মক — saddle (ঘোড়ার জিন); eigenvalue-দের sign মিশ্র |
| Leading Principal Minor |
লিডিং প্রিন্সিপাল মাইনর |
উপরের-বাঁ কোণার \(k\times k\) টুকরার determinant — সব \(> 0\) হলেই positive definite (Sylvester test) |
| Principal Axes Theorem |
প্রিন্সিপাল অ্যাক্সেস থিওরেম |
Eigenvector-অক্ষে গেলে quadratic form-এর cross term উধাও: \(Q = \sum\lambda_iy_i^2\) — ellipse-এর আসল অক্ষ |
| Hessian |
হেসিয়ান |
Function-এর দ্বিতীয় derivative-দের symmetric matrix — positive definite হলে সেই বিন্দু minimum |
| Convexity |
উত্তলতা (কনভেক্সিটি) |
Bowl-আকৃতির function — যার সব জায়গায় Hessian positive semidefinite; optimization-এর স্বর্গ |
| Condition Number |
কন্ডিশন নাম্বার |
\(\kappa = \sigma_{\max}/\sigma_{\min}\) — ellipse কত সরু / সমাধান সংখ্যাগতভাবে কত নড়বড়ে |
Chapter 6.6 — Singular Value Decomposition (SVD)
| English Term |
বাংলা |
এক লাইনে অর্থ |
| Singular Value Decomposition (SVD) |
সিঙ্গুলার ভ্যালু ডিকম্পোজিশন |
\(A = U\Sigma V^T\) — যেকোনো matrix = rotation × stretch × rotation; কোনো শর্ত ছাড়াই |
| Singular Value |
সিঙ্গুলার ভ্যালু |
\(\sigma_i = \sqrt{\lambda_i(A^TA)}\) — অক্ষ ধরে stretch-এর পরিমাণ; সবসময় real ও \(\geq 0\), বড়→ছোট সাজানো |
| Right Singular Vector |
রাইট সিঙ্গুলার ভেক্টর |
\(V\)-এর column \(v_i\) — ইনপুট জগতের "সঠিক লম্ব অক্ষ" (\(A^TA\)-র eigenvector) |
| Left Singular Vector |
লেফট সিঙ্গুলার ভেক্টর |
\(U\)-এর column \(u_i\) — আউটপুট জগতের লম্ব অক্ষ: \(Av_i = \sigma_iu_i\) |
| Rank-1 Matrix |
র্যাঙ্ক-ওয়ান ম্যাট্রিক্স |
একটা column × একটা row (\(uv^T\)) — SVD-র একেকটা "স্তর" |
| Low-Rank Approximation |
লো-র্যাঙ্ক অ্যাপ্রক্সিমেশন |
\(A_k = \sum_{i\leq k}\sigma_iu_iv_i^T\) — ভারী \(k\)টা স্তর রেখে বাকি ছাঁটা; compression-এর ভিত্তি |
| Eckart–Young Theorem |
একার্ট–ইয়াং থিওরেম |
SVD-র truncation-ই প্রমাণিত সেরা rank-\(k\) approximation; error ঠিক \(\sigma_{k+1}\) |
| Frobenius Norm |
ফ্রোবেনিয়াস নর্ম |
সব entry-র বর্গযোগফলের বর্গমূল \(= \sqrt{\sum\sigma_i^2}\) — matrix-এর "মোট শক্তি" |
| Pseudoinverse |
সিউডোইনভার্স |
\(A^+ = V\Sigma^+U^T\) — singular/rectangular matrix-এর "যতটা সম্ভব inverse"; least squares-এর engine |
| Economy (Thin) SVD |
ইকোনমি এসভিডি |
শূন্য-\(\sigma\)-র অংশ বাদ দিয়ে ছোট \(U, \Sigma, V\) রাখা (full_matrices=False) — বড় ডেটার memory-বাঁচানো রূপ |
Chapter 6.7 — PCA
| English Term |
বাংলা |
এক লাইনে অর্থ |
| Principal Component Analysis (PCA) |
প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস |
ডেটার সবচেয়ে ছড়ানো লম্ব দিকগুলো খুঁজে অল্প dimension-এ নামানো — covariance matrix-এর eigen/SVD-র প্রয়োগ |
| Principal Component |
প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট |
ডেটার \(i\)-তম সেরা দিক — covariance matrix-এর \(i\)-তম eigenvector (variance-ক্রমে) |
| Centering |
সেন্টারিং |
প্রতিটা feature থেকে তার গড় বিয়োগ — PCA-র বাধ্যতামূলক প্রথম ধাপ |
| Standardization |
স্ট্যান্ডার্ডাইজেশন |
গড় বিয়োগ + standard deviation দিয়ে ভাগ — ভিন্ন এককের feature-দের সমান মাঠে আনা |
| Explained Variance Ratio |
এক্সপ্লেইন্ড ভ্যারিয়ান্স রেশিও |
\(\lambda_i/\sum\lambda_j\) — \(i\)-নং component ডেটার মোট ছড়ানোর কত ভাগ ধরে |
| Scree Plot |
স্ক্রি প্লট |
Eigenvalue-দের বড়→ছোট গ্রাফ — "কনুই" দেখে কয়টা component রাখবে ঠিক করা |
| Rayleigh Quotient |
রেলে কোশেন্ট |
\(\frac{x^TAx}{x^Tx}\) — যা maximize করলে সবচেয়ে বড় eigenvalue-র দিক মেলে; PCA-র optimization-হৃদয় |