Chapter 0.1 — Numbers & Algebra Refresher (সংখ্যা ও Algebra ঝালাই)¶

🎯 এই chapter-এ যা শিখবে¶

সংখ্যার পরিবারগুলো চিনবে — Natural(স্বাভাবিক), Integer(পূর্ণসংখ্যা), Rational(মূলদ), Real(বাস্তব) number — এবং কেন Data Science-এ প্রায় সব কিছুই real number
Variable(চলক) আসলে কী — "x মানেই ভয়" এই ধারণাটা চিরতরে ভাঙবে
Equation(সমীকরণ) মানে একটা দাঁড়িপাল্লা — এবং সেই দাঁড়িপাল্লা ব্যবহার করে সহজ equation solve করবে
Function(ফাংশন) মানে একটা মেশিন — input দাও, output পাও
Order of operations (BODMAS/PEMDAS) — কোন হিসাব আগে, কোনটা পরে

🖼️ এক ছবিতে মূল idea¶

Function machine

Algebra-র পুরো গল্পটা এই ছবিতে: একটা Function(ফাংশন) হলো মেশিন — বাঁ দিক থেকে সংখ্যা ঢোকাও, মেশিন নিয়ম মেনে কাজ করে, ডান দিক থেকে নতুন সংখ্যা বেরোয়। \(f(x) = 2x + 1\) মেশিনে \(3\) ঢোকালে \(7\) বেরোয়। ব্যস — এর বেশি রহস্য নেই।

১. কি? (What)¶

ভয়টা কোথা থেকে আসে¶

প্রথমেই একটা সত্যি কথা বলি। স্কুলে অনেকের কাছে math কঠিন লাগে তার কারণ math নিজে কঠিন না — কারণ হলো, মাঝখানের কোনো একটা সিঁড়ি miss হয়ে গিয়েছিল, আর তারপরের সব সিঁড়ি তাই নড়বড়ে লেগেছে। এই chapter-এ আমরা সেই সিঁড়িগুলো একটা একটা করে মেরামত করব। তাড়াহুড়ো নেই — Data Science-এর পুরো যাত্রায় এই chapter-এর জিনিসগুলোই বারবার ফিরে আসবে।

সংখ্যার পরিবার¶

সংখ্যাদেরও পরিবার আছে, ঠিক যেমন মানুষদের আছে:

Natural number(স্বাভাবিক সংখ্যা): গোনার সংখ্যা — \(1, 2, 3, 4, \dots\)। "আমার ৩টা বই আছে" — এই ৩ হলো natural number।
Integer(পূর্ণসংখ্যা): natural number + শূন্য + ঋণাত্মক সংখ্যা — \(\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\)। "আজ তাপমাত্রা \(-2\) ডিগ্রি" বা "ব্যাংকে \(-500\) টাকা (মানে ধার!)" — এগুলো integer।
Rational number(মূলদ সংখ্যা): ভগ্নাংশ হিসেবে লেখা যায় এমন সংখ্যা — \(\frac{1}{2}, \frac{-15}{4}, 0.75\)। দুইজনে একটা পিৎজা ভাগ করলে প্রত্যেকে পায় \(\frac{1}{2}\)।
Irrational number(অমূলদ সংখ্যা): যাদের ভগ্নাংশ হিসেবে লেখা যায়ই না — যেমন \(\sqrt{2} \approx 1.41421\dots\) বা \(\pi \approx 3.14159\dots\)। এদের দশমিকের পরের অঙ্কগুলো কোনোদিন শেষও হয় না, repeat-ও করে না।
Real number(বাস্তব সংখ্যা): উপরের সবগুলো মিলে যে বিশাল পরিবার। সংখ্যারেখার (number line) প্রতিটা বিন্দু একেকটা real number। এদের সেটকে লেখা হয় \(\mathbb{R}\) — এই প্রতীকটা সামনে হাজারবার দেখবে, তাই এখনই বন্ধুত্ব করে নাও।

Data Science-এ আমরা প্রায় সবসময় real number নিয়ে কাজ করি: কারো উচ্চতা \(165.5\) cm, একটা বাড়ির দাম \(54.3\) লাখ, একটা model-এর accuracy \(0.87\) — সব real number।

Variable: "x" আসলে কে?¶

এবার সেই বিখ্যাত ভিলেন — \(x\)।

আসল কথাটা খুব সাধারণ: Variable(চলক) হলো একটা খালি বাক্স, যার ভেতরে একটা সংখ্যা রাখা যায়। আমরা যখন এখনো জানি না বাক্সে কী আছে, তখন বাক্সটার একটা নাম দিই — \(x\), \(y\), \(t\), যা খুশি।

দৈনন্দিন উদাহরণ: ধরো তুমি দোকানে গেলে, ৩টা কলম কিনলে আর দোকানদার বলল "মোট ৬০ টাকা"। প্রতিটা কলমের দাম কত? তুমি মনে মনে যেটা করলে সেটাই algebra:

\[3 \times (\text{একটা কলমের দাম}) = 60\]

"একটা কলমের দাম" — এই লম্বা কথাটা বারবার লিখতে বিরক্ত লাগে, তাই আমরা ছোট্ট করে লিখি \(x\):

\[3x = 60\]

ব্যস। \(x\) কোনো রহস্য না — সে শুধু "যে সংখ্যাটা আমরা খুঁজছি" তার ডাকনাম।

Equation: দুই পাশের সমান ওজন¶

Equation(সমীকরণ) হলো এমন একটা বাক্য যেখানে বলা হয় "বাঁ পাশ = ডান পাশ"। যেমন \(3x = 60\) বলছে: "৩ গুণ \(x\) আর ৬০ — এই দুটো জিনিস আসলে একই।"

Solve(সমাধান) করা মানে: বাক্সে কোন সংখ্যা রাখলে বাক্যটা সত্যি হয়, সেটা বের করা। \(3x = 60\)-এর solution হলো \(x = 20\), কারণ \(3 \times 20 = 60\) — সত্যি!

Function: input-output মেশিন¶

Function(ফাংশন) হলো একটা নিয়ম, যেটা প্রতিটা input-এর জন্য ঠিক একটা output দেয়। লেখা হয়:

\[f(x) = 2x + 1\]

পড়বে এভাবে: "\(f\) নামের মেশিনে \(x\) ঢোকালে বেরোবে \(2x+1\)"। যেমন \(f(3) = 2(3) + 1 = 7\), আর \(f(10) = 21\)।

মেশিনের analogy-টা মাথায় গেঁথে নাও, কারণ পুরো Linear Algebra-ই আসলে এক ধরনের বিশেষ মেশিন (Linear Transformation) নিয়ে পড়াশোনা — সেটা Part III-তে আসবে।

২. দেখতে কেমন?¶

সংখ্যারেখা: সব real number-এর বাড়ি¶

Number line

Real number line — একটা অসীম লম্বা রুলার। প্রতিটা সংখ্যার একটা নির্দিষ্ট বাড়ি আছে: \(3\) ডানে, \(-2\) বাঁয়ে, \(\frac{1}{2}\) শূন্য আর ১-এর মাঝখানে, আর \(\sqrt{2}\)-ও একটা নির্দিষ্ট জায়গায় বসে আছে (\(1.414\dots\)-এর ঘরে)।

এই ছবিটাই পরে বিশাল হয়ে উঠবে: Part I-তে আমরা দেখব একটা number line হলো \(\mathbb{R}\), দুটো number line জোড়া দিলে হয় plane (\(\mathbb{R}^2\)), তিনটা দিলে space (\(\mathbb{R}^3\)) — আর Data Science-এ আমরা কাজ করব \(\mathbb{R}^{100}\) বা তারও বড় জগতে!

Equation = দাঁড়িপাল্লা¶

Balance scale

Equation solve করার পুরো কৌশল এক ছবিতে: equation হলো ব্যালেন্স করা দাঁড়িপাল্লা। এক পাশ থেকে ৩ সরালে অন্য পাশ থেকেও ৩ সরাতে হবে, নইলে পাল্লা কাত হয়ে যাবে। \(2x+3=11 \to 2x=8 \to x=4\)।

Function-এর ছবি: table থেকে graph¶

Table to graph

\(y = 2x+1\) function-টার ছবি আঁকার রেসিপি: (১) কয়েকটা \(x\) বেছে নিয়ে টেবিল বানাও, (২) প্রতিটা \((x, y)\) জোড়াকে বিন্দু হিসেবে বসাও। বিন্দুগুলো একটা সরলরেখায় পড়ে — এই জন্যই এদের নাম linear(রৈখিক) function! "Linear Algebra"-র "linear" শব্দটা এখান থেকেই এসেছে।

৩. কোথায় ইউজ হয়?¶

তুমি হয়তো ভাবছ — "ঠিক আছে, কিন্তু এই \(x\), \(f(x)\) দিয়ে বাস্তবে কী হয়?" উত্তর: Data Science-এর প্রায় সবকিছু।

বাস্তব জীবনে:

মোবাইল রিচার্জ: "প্রতি মিনিট ১.৫ টাকা + মাসিক ৩০ টাকা fee" — এটা আসলে \(cost = 1.5m + 30\) — একটা linear function!
রান্নার রেসিপি: ৪ জনের রেসিপিকে ১০ জনের বানাতে সব উপকরণ \(\times \frac{10}{4}\) — এটা scaling, যেটা Part I-তে "scalar multiplication" নামে ফিরে আসবে।
জ্বরের থার্মোমিটার: Celsius থেকে Fahrenheit: \(F = 1.8C + 32\) — আরেকটা linear function।

Data Science / ML-এ:

Linear Regression(লিনিয়ার রিগ্রেশন) — ML-এর সবচেয়ে বিখ্যাত প্রথম model — আসলে \(y = mx + c\)-রই বড় ভাই: \(y = w_1x_1 + w_2x_2 + \dots + w_nx_n + b\)। এই chapter-এর \(2x+1\) বুঝলে তুমি regression-এর অর্ধেক বুঝে গেছ।
Model train করা মানে আসলে equation solve করা: "কোন \(w\) বসালে prediction-এর ভুল সবচেয়ে কম হয়?" — এটাই Part V-এর Least Squares।
Neural network-এর প্রতিটা neuron একটা function: input নেয়, weight দিয়ে গুণ করে, output দেয়। কোটি কোটি ছোট \(f(x) = wx + b\) মেশিন জোড়া দিলেই ChatGPT-র মতো জিনিস তৈরি হয়।

অর্থাৎ: আজকের এই "সহজ" জিনিসগুলো আসলে পুরো যাত্রার DNA।

৪. Properties¶

Algebra-র নিয়মগুলো মুখস্থ করার জিনিস না — প্রতিটার পেছনে সহজ যুক্তি আছে।

৪.১ Commutative property (ক্রম বদলালেও ফল একই)¶

\[a + b = b + a, \qquad a \times b = b \times a\]

৩টা আম + ২টা আম = ২টা আম + ৩টা আম। গুণের বেলায়: \(3 \times 4\) মানে ৩ সারিতে ৪টা করে জিনিস = \(4 \times 3\) মানে ৪ সারিতে ৩টা করে — মোট একই ১২টা। (মজার তথ্য: Part III-তে দেখবে matrix multiplication এই নিয়ম মানে না — \(AB \neq BA\)! সেটা তখন বিরাট চমক হবে।)

৪.২ Associative property (বন্ধনী যেখানেই দাও)¶

\[(a + b) + c = a + (b + c)\]

তিনজনের টাকা যোগ করার সময় আগে কোন দুজনেরটা যোগ করলে, তাতে মোট বদলায় না।

৪.৩ Distributive property (গুণ ভাগ হয়ে ঢোকে)¶

\[a(b + c) = ab + ac\]

মিনি-প্রমাণ ছবি দিয়ে: একটা আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য \(b+c\), প্রস্থ \(a\)। পুরো ক্ষেত্রফল \(= a(b+c)\)। আবার মাঝখানে দাগ টেনে দুই টুকরো করলে ক্ষেত্রফল \(= ab + ac\)। একই আয়তক্ষেত্র, তাই দুটো সমান। এই property-টা Linear Algebra-র প্রাণ — matrix-এর জগতে এটাই "linearity"।

৪.৪ দাঁড়িপাল্লার নিয়ম (equation-এর properties)¶

Equation-এর দুই পাশে একসাথে করা যায়:

অনুমতি আছে	উদাহরণ
দুই পাশে একই সংখ্যা যোগ/বিয়োগ	\(x - 3 = 5 \Rightarrow x = 8\)
দুই পাশে একই অশূন্য সংখ্যা দিয়ে গুণ/ভাগ	\(2x = 8 \Rightarrow x = 4\)
দুই পাশ অদল-বদল	\(7 = x \Rightarrow x = 7\)

⚠️ একটাই নিষেধ: শূন্য দিয়ে ভাগ করা যাবে না, কখনোই। \(\frac{6}{0}\)-এর কোনো অর্থ নেই — কারণ "কোন সংখ্যাকে ০ দিয়ে গুণ করলে ৬ হয়?" — এমন সংখ্যা নেই।

৪.৫ Order of operations (BODMAS)¶

\(2 + 3 \times 4\) = কত? \(20\) না, \(14\)! নিয়ম: আগে Brackets(বন্ধনী), তারপর Orders(power/root), তারপর Division-Multiplication (বাঁ থেকে ডানে), শেষে Addition-Subtraction। Python-ও ঠিক এই নিয়মই মানে — Chapter 0.4-এ নিজে পরীক্ষা করে দেখবে।

৫. Intuition — কেন সত্য?¶

Equation solve করা মানে আসলে "undo" করা¶

\(2x + 3 = 11\)-কে দেখো একটা গল্প হিসেবে। কেউ একটা সংখ্যা নিয়েছিল (\(x\)), তাকে ২ দিয়ে গুণ করেছে, তারপর ৩ যোগ করেছে, আর ফল হয়েছে ১১।

তুমি এখন detective। আসল সংখ্যাটা খুঁজতে হলে ঘটনাগুলো উল্টো ক্রমে undo করো:

শেষ কাজ ছিল "+3" → undo করো "−3" দিয়ে: \(11 - 3 = 8\)
তার আগের কাজ ছিল "×2" → undo করো "÷2" দিয়ে: \(8 \div 2 = 4\)

তাই \(x = 4\)। মোজা পরে জুতা পরলে, খোলার সময় আগে জুতা তারপর মোজা — equation solve করাও তাই: শেষে যা করা হয়েছিল, তা প্রথমে undo। এই "undo" idea-টা Part III-তে Inverse Matrix নামে মহাগুরুত্বপূর্ণ হয়ে ফিরে আসবে।

Solve করা মানে দুটো ছবির মিলনবিন্দু খোঁজা¶

Graphical solve

\(2x+3 = 11\) solve করার আরেকটা সম্পূর্ণ আলাদা উপায় — ছবি দিয়ে! বাঁ পাশ \(y = 2x+3\) একটা লাইন, ডান পাশ \(y = 11\) আরেকটা (সমতল) লাইন। দুটো লাইন যেখানে মিলেছে, সেই বিন্দুর \(x\)-ই solution: \(x = 4\)।

এইটা এই কোর্সের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ দর্শন: প্রতিটা algebra-র হিসাবের পেছনে একটা geometry-র ছবি লুকিয়ে আছে। Algebra বলে "কী করতে হবে", geometry বলে "কেন সেটা অর্থপূর্ণ"। আমরা সবসময় দুটোই দেখব।

৬. Code-এ কেমনে লিখে¶

Python এখনো install না করে থাকলে চিন্তা নেই — Chapter 0.4-এ হাতে ধরে setup করাব। আপাতত কোডগুলো চোখ দিয়ে পড়ো, গল্পের মতো।

# Variable: খালি বাক্সে মান রাখা — math-এর x এখানে নামওয়ালা বাক্স
x = 4
print(2 * x + 3)        # output: 11  (2x+3, যেখানে x=4)

# Function: input-output মেশিন
def f(x):
    return 2 * x + 1

print(f(3))              # output: 7
print(f(10))             # output: 21
print(f(0))              # output: 1

# Order of operations: Python-ও BODMAS মানে
print(2 + 3 * 4)         # output: 14  (20 নয়!)
print((2 + 3) * 4)       # output: 20  (বন্ধনী আগে)

Output ব্যাখ্যা: f(3) লিখলে Python মেশিনে ৩ ঢোকায়, ভেতরে \(2\times3+1\) হিসাব হয়, ৭ বেরোয় — হুবহু §১-এর মেশিনের ছবিটা।

এবার একটা equation numpy দিয়ে solve করি (ভবিষ্যতের trailer):

import numpy as np

# 2x + 3 = 11  কে লেখা যায়:  2x = 8 আকারে (Ax = b form)
A = np.array([[2.0]])
b = np.array([11.0 - 3.0])
x = np.linalg.solve(A, b)
print(x)                 # output: [4.]

Output ব্যাখ্যা: np.linalg.solve হলো NumPy-র "equation solver মেশিন"। এখন এটা দিয়ে ১টা equation solve করলাম; Part II-তে এটা দিয়েই ১০০টা variable-এর ১০০টা equation একসাথে solve করব — কোড প্রায় একই থাকবে!

৭. Worked Examples¶

Example 1 — এক ধাপের equation¶

Solve করো: \(x + 7 = 15\)

ধাপ ১: \(x\)-এর সাথে ৭ যোগ করা আছে। Undo করতে দুই পাশ থেকে ৭ বিয়োগ করো:

\[x + 7 - 7 = 15 - 7\]

ধাপ ২: বাঁ পাশে \(+7\) আর \(-7\) কাটাকাটি:

\[x = 8\]

ধাপ ৩ (যাচাই — সবসময় করবে!): \(8 + 7 = 15\) ✓

Example 2 — দুই ধাপের equation¶

Solve করো: \(5x - 4 = 21\)

ধাপ ১: শেষ কাজ ছিল \(-4\); undo: দুই পাশে \(+4\):

\[5x = 25\]

ধাপ ২: এবার \(\times 5\); undo: দুই পাশ \(\div 5\):

\[x = 5\]

ধাপ ৩ (যাচাই): \(5(5) - 4 = 25 - 4 = 21\) ✓

Example 3 — দুই পাশেই variable¶

Solve করো: \(3x + 5 = x + 13\)

ধাপ ১: সব \(x\)-কে এক পাশে আনি। দুই পাশ থেকে \(x\) বিয়োগ:

\[3x - x + 5 = 13 \implies 2x + 5 = 13\]

ধাপ ২: দুই পাশ থেকে ৫ বিয়োগ:

\[2x = 8\]

ধাপ ৩: দুই পাশ ২ দিয়ে ভাগ:

\[x = 4\]

ধাপ ৪ (যাচাই): বাঁ পাশ \(3(4)+5 = 17\); ডান পাশ \(4+13 = 17\) ✓ দুই পাশ সমান!

৮. Problems ও Solutions¶

নিজে আগে চেষ্টা করো — খাতা-কলম নিয়ে। আটকে গেলে তবেই solution খুলবে। ভুল হওয়া মানেই শেখা হচ্ছে।

Problem 1. নিচের সংখ্যাগুলোর প্রতিটা কোন কোন পরিবারে পড়ে (natural / integer / rational / irrational / real)? \((a)\ 7 \quad (b)\ -3 \quad (c)\ \frac{2}{5} \quad (d)\ \sqrt{9} \quad (e)\ \sqrt{5}\)

Solution

\((a)\ 7\): natural ✓, integer ✓, rational ✓ (কারণ \(7 = \frac{7}{1}\)), real ✓
\((b)\ -3\): natural ✗ (ঋণাত্মক), integer ✓, rational ✓, real ✓
\((c)\ \frac{2}{5}\): natural ✗, integer ✗ (পূর্ণসংখ্যা নয়), rational ✓, real ✓
\((d)\ \sqrt{9} = 3\) — এটা একটা ফাঁদ! root চিহ্ন দেখলেই irrational না। \(\sqrt{9}=3\), তাই: natural ✓, integer ✓, rational ✓, real ✓
\((e)\ \sqrt{5} \approx 2.2360\dots\): এটা সত্যিই irrational (কোনো ভগ্নাংশে লেখা যায় না), real ✓

মনে রাখো: প্রতিটা natural number একই সাথে integer, rational এবং real — পরিবারগুলো একটার ভেতরে আরেকটা।

Problem 2. Solve করো: \(4x - 9 = 19\)

Solution

দুই পাশে \(9\) যোগ:

\[4x = 28\]

দুই পাশ \(4\) দিয়ে ভাগ:

\[x = 7\]

যাচাই: \(4(7) - 9 = 28 - 9 = 19\) ✓

Problem 3. Solve করো: \(\dfrac{x}{3} + 2 = 7\)

Solution

দুই পাশ থেকে \(2\) বিয়োগ:

\[\frac{x}{3} = 5\]

দুই পাশে \(3\) গুণ:

\[x = 15\]

যাচাই: \(\frac{15}{3} + 2 = 5 + 2 = 7\) ✓

Problem 4. Solve করো: \(2(x + 3) = 5x - 9\)

Solution

Distributive property দিয়ে বন্ধনী খোলো:

\[2x + 6 = 5x - 9\]

দুই পাশ থেকে \(2x\) বিয়োগ:

\[6 = 3x - 9\]

দুই পাশে \(9\) যোগ:

\[15 = 3x\]

দুই পাশ \(3\) দিয়ে ভাগ:

\[x = 5\]

যাচাই: বাঁ পাশ \(2(5+3) = 16\); ডান পাশ \(5(5) - 9 = 16\) ✓

Problem 5. \(f(x) = 3x - 2\) হলে বের করো: \((a)\ f(4) \quad (b)\ f(0) \quad (c)\ f(-2) \quad (d)\) কোন \(x\)-এর জন্য \(f(x) = 13\)?

Solution

\((a)\ f(4) = 3(4) - 2 = 10\)
\((b)\ f(0) = 3(0) - 2 = -2\)
\((c)\ f(-2) = 3(-2) - 2 = -8\) (সাবধান: \(3 \times (-2) = -6\), তারপর \(-6-2=-8\))
\((d)\) এখানে প্রশ্ন উল্টো — output জানা (\(13\)), input খুঁজতে হবে। Equation বানাও:

\[3x - 2 = 13 \implies 3x = 15 \implies x = 5\]

যাচাই: \(f(5) = 3(5)-2 = 13\) ✓ — লক্ষ করো, "function-এ মান বসানো" আর "equation solve করা" আসলে একই মুদ্রার এপিঠ-ওপিঠ।

Problem 6. একটা রাইড-শেয়ারিং app-এর ভাড়া: base fare ৪০ টাকা + প্রতি km ২৫ টাকা। \((a)\) ভাড়াকে distance \(d\)-এর function হিসেবে লেখো। \((b)\) ৬ km গেলে ভাড়া কত? \((c)\) কারো কাছে ২১৫ টাকা থাকলে সে সর্বোচ্চ কত km যেতে পারবে?

Solution

\((a)\) \(fare(d) = 25d + 40\)
\((b)\) \(fare(6) = 25(6) + 40 = 150 + 40 = 190\) টাকা
\((c)\) Solve: \(25d + 40 = 215\)

\[25d = 175 \implies d = 7\]

সর্বোচ্চ ৭ km। যাচাই: \(25(7)+40 = 215\) ✓

দেখলে? বাস্তব জীবনের প্রশ্ন → function বানাও → equation solve করো। এটাই applied math-এর মূল ছন্দ, আর এটাই বড় আকারে Machine Learning।

Problem 7. হিসাব করো (order of operations মেনে): \((a)\ 5 + 2 \times 3^2 \quad (b)\ (5+2) \times 3^2 \quad (c)\ 24 \div 4 \times 2\)

Solution

\((a)\) আগে power: \(3^2 = 9\); তারপর গুণ: \(2 \times 9 = 18\); শেষে যোগ: \(5 + 18 = 23\)
\((b)\) আগে বন্ধনী: \(5+2=7\); power: \(3^2=9\); গুণ: \(7 \times 9 = 63\)
\((c)\) ফাঁদ! division আর multiplication সমান মর্যাদার — বাঁ থেকে ডানে করো: \(24 \div 4 = 6\), তারপর \(6 \times 2 = 12\)। (\(24 \div 8 = 3\) ভুল উত্তর।)

Problem 8 (challenge). Solve করো: \(\dfrac{2x+1}{3} = \dfrac{x+5}{2}\)

Solution

দুই পাশে ভগ্নাংশ — দুই পাশকেই \(6\) (দুই হর-এর ল.সা.গু) দিয়ে গুণ করো:

\[6 \cdot \frac{2x+1}{3} = 6 \cdot \frac{x+5}{2}\]

\[2(2x+1) = 3(x+5)\]

Distributive property:

\[4x + 2 = 3x + 15\]

দুই পাশ থেকে \(3x\) বিয়োগ, তারপর \(2\) বিয়োগ:

\[x = 13\]

যাচাই: বাঁ পাশ \(\frac{2(13)+1}{3} = \frac{27}{3} = 9\); ডান পাশ \(\frac{13+5}{2} = \frac{18}{2} = 9\) ✓

৯. Common ভুল¶

ভুল ১: "\(x\) মানে সবসময় একটাই রহস্যময় সংখ্যা"

❌ ভুল ধারণা: \(x\) একটা fixed রহস্য।
✓ ঠিক: context অনুযায়ী \(x\)-এর ভূমিকা বদলায়। Equation-এ (\(2x=8\)) \(x\) হলো "খুঁজে বের করার সংখ্যা"; function-এ (\(f(x)=2x\)) \(x\) হলো "যেকোনো input রাখার জায়গা"। একই অক্ষর, দুই ভূমিকা।

ভুল ২: এক পাশে কাজ করে অন্য পাশ ভুলে যাওয়া

❌ \(2x + 3 = 11 \Rightarrow 2x = 11\) (শুধু বাঁ পাশ থেকে ৩ ফেলে দেওয়া)
✓ \(2x + 3 = 11 \Rightarrow 2x + 3 - 3 = 11 - 3 \Rightarrow 2x = 8\) — দাঁড়িপাল্লার দুই পাশেই একই কাজ।

ভুল ৩: \(2(x+3) = 2x + 3\)

❌ গুণটা শুধু প্রথম জিনিসে দেওয়া।
✓ \(2(x+3) = 2x + 6\) — distributive property অনুযায়ী গুণ বন্ধনীর প্রত্যেকটা সদস্যের কাছে পৌঁছায়।

ভুল ৪: ঋণাত্মক সংখ্যার হিসাবে চিহ্ন হারিয়ে ফেলা

❌ \(3 - (-2) = 1\)
✓ \(3 - (-2) = 3 + 2 = 5\) — "ঋণ কমে যাওয়া মানে সম্পদ বাড়া"। দুটো minus পাশাপাশি এলে plus।

ভুল ৫: root চিহ্ন দেখলেই "irrational" বলা

❌ \(\sqrt{16}\) irrational।
✓ \(\sqrt{16} = 4\) — একেবারে শান্তশিষ্ট natural number। যে root-গুলোর উত্তর মিলে যায় না (\(\sqrt{2}, \sqrt{5}\)), শুধু সেগুলোই irrational।

১০. এক নজরে¶

ধারণা	এক লাইনে	প্রতীক/উদাহরণ
Real number	সংখ্যারেখার যেকোনো বিন্দু	\(\mathbb{R}\); \(-2, \frac{1}{2}, \sqrt{2}, \pi\)
Variable	সংখ্যা রাখার নামওয়ালা বাক্স	\(x, y, t\)
Equation	"বাঁ পাশ = ডান পাশ" দাবি করা বাক্য	\(2x + 3 = 11\)
Solve করা	কোন মানে বাক্যটা সত্যি, তা বের করা	\(x = 4\)
Function	প্রতি input-এ ঠিক এক output দেওয়া মেশিন	\(f(x) = 2x+1\)
Linear function	যার graph সরলরেখা	\(y = mx + c\)
দাঁড়িপাল্লার নিয়ম	দুই পাশে একই কাজ করা যায় (÷0 ছাড়া)	দুই পাশে \(-3\), তারপর \(\div 2\)
BODMAS	বন্ধনী → power → গুণ-ভাগ → যোগ-বিয়োগ	\(2+3\times4 = 14\)

পরের chapter-এর সেতু: এই chapter-এ দেখলে \(y = 2x+1\)-এর বিন্দুগুলো একটা সরলরেখায় পড়ে। কিন্তু বিন্দুগুলো বসাচ্ছিলাম কোথায়? — একটা সমতল কাগজে, যার একটা আনুভূমিক আর একটা উল্লম্ব দাগ আছে। সেই কাগজটার নাম coordinate plane, আর "equation ↔ ছবি" এই জাদুর সেতুটাই পরের chapter-এর বিষয়। Chapter 0.2-এ চলো!

📓 Notebook Project¶

chYY-project notebook — notebooks/part-00/ch01-project.ipynb: নিজের হাতে একটা equation-solver ও function-মেশিন বানাবে Python-এ, তারপর মোবাইল-প্ল্যানের দাম তুলনা করবে graph এঁকে।