Glossary — পুরো বইয়ের পরিভাষা-অভিধান¶
এই পাতায় বইয়ের প্রতিটা Part-এর সব গুরুত্বপূর্ণ English term এক জায়গায় — বাংলা নাম (উচ্চারণসহ) ও এক লাইনে অর্থসহ। উপরের search box-এ term লিখে সরাসরি খুঁজে নাও, অথবা Part ধরে নিচে নামো।
Part 0¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Natural number | স্বাভাবিক সংখ্যা | গোনার সংখ্যা: \(1, 2, 3, \dots\) |
| Integer | পূর্ণসংখ্যা | ধনাত্মক, ঋণাত্মক ও শূন্য — ভগ্নাংশহীন সংখ্যা: \(\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\) |
| Rational number | মূলদ সংখ্যা | দুই integer-এর ভাগফল হিসেবে লেখা যায় এমন সংখ্যা, যেমন \(\frac{1}{2}\) |
| Irrational number | অমূলদ সংখ্যা | ভগ্নাংশে লেখা যায় না এমন সংখ্যা, যেমন \(\sqrt{2}, \pi\) |
| Real number | বাস্তব সংখ্যা | সংখ্যারেখার যেকোনো বিন্দু; সব rational + irrational মিলিয়ে \(\mathbb{R}\) |
| Number line | সংখ্যারেখা | সব real number-এর ছবি — একটা অসীম লম্বা দাগ |
| Variable | চলক | সংখ্যা রাখার নামওয়ালা খালি বাক্স, যেমন \(x\) |
| Equation | সমীকরণ | "বাঁ পাশ = ডান পাশ" দাবি করা গাণিতিক বাক্য |
| Solve / Solution | সমাধান করা / সমাধান | equation-কে সত্যি বানায় এমন মান খুঁজে বের করা / সেই মান |
| Function | ফাংশন | প্রতিটা input-এর জন্য ঠিক একটা output দেওয়া নিয়ম/মেশিন |
| Linear function | রৈখিক ফাংশন | যে function-এর graph সরলরেখা: \(y = mx + c\) |
| Commutative property | বিনিময় ধর্ম | ক্রম বদলালেও ফল একই: \(a + b = b + a\) |
| Associative property | সংযোজন ধর্ম | বন্ধনী যেখানেই দাও ফল একই: \((a+b)+c = a+(b+c)\) |
| Distributive property | বণ্টন ধর্ম | গুণ বন্ধনীর ভেতরে ঢুকে যায়: \(a(b+c) = ab + ac\) |
| Order of operations (BODMAS) | কাজের ক্রম | বন্ধনী → power → গুণ-ভাগ → যোগ-বিয়োগ |
| Coordinate plane | স্থানাঙ্ক সমতল | দুটো লম্ব number line দিয়ে বানানো সমতল — প্রতিটা বিন্দুর ঠিকানা-ব্যবস্থা |
| x-axis / y-axis | এক্স-অক্ষ / ওয়াই-অক্ষ | আনুভূমিক / উল্লম্ব number line |
| Origin | মূলবিন্দু | দুই axis-এর ছেদবিন্দু \((0, 0)\) |
| Coordinates | স্থানাঙ্ক | কোনো বিন্দুর ঠিকানা-জোড় \((x, y)\) |
| Ordered pair | ক্রমজোড় | ক্রম-সহ দুটো সংখ্যা; \((3,2) \neq (2,3)\) |
| Quadrant | পাদ | দুই axis-এ ভাগ হওয়া সমতলের চার অঞ্চল (I, II, III, IV) |
| Distance formula | দূরত্বের সূত্র | \(d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\) — Pythagoras-এর রূপ |
| Slope | ঢাল | ডানে এক ধাপ গেলে লাইন কতটা ওঠে: \(m = \frac{\text{rise}}{\text{run}}\) |
| y-intercept | ওয়াই-ছেদক | লাইন y-axis-কে যেখানে কাটে; \(y = mx + c\)-এর \(c\) |
| Parallel lines | সমান্তরাল রেখা | সমান slope-এর দুটো লাইন — কখনো ছেদ করে না |
| Collinear | একরেখ | একই সরলরেখায় থাকা বিন্দুরা |
| Intersection (of lines) | ছেদবিন্দু | দুটো লাইন যেখানে মেলে — দুই শর্তের সাধারণ solution |
| Set | সেট | জিনিসের সংগ্রহ/ব্যাগ — ক্রম নেই, duplicate নেই |
| Element | উপাদান | set-এর ভেতরের একেকটা জিনিস; \(x \in A\) |
| Subset | উপসেট | যে set-এর সব element আরেকটার ভেতরে: \(B \subset A\) |
| Union | সংযোগ | দুই set-এর সব element একসাথে: \(A \cup B\) |
| Intersection (of sets) | ছেদ | দুই set-এর কমন element-রা: \(A \cap B\) |
| Empty set | ফাঁকা সেট | কোনো element নেই এমন set: \(\emptyset\) |
| Set-builder notation | শর্ত দিয়ে সেট লেখা | \(\{x \in \mathbb{R} : x > 0\}\) — "এমন সব \(x\) যে..." |
| Set difference | সেট বিয়োগ | \(A \setminus B\) — \(A\)-তে আছে কিন্তু \(B\)-তে নেই |
| Interval | ব্যবধি | number line-এর একটানা টুকরো, যেমন \((-3, 3)\) |
| \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\) | বিখ্যাত সংখ্যা-সেট | natural, integer, rational, real সংখ্যাদের সংরক্ষিত নাম |
| \(\mathbb{R}^n\) | আর-এন | \(n\)-টা real সংখ্যার সব লিস্টের set — data যেখানে বাস করে |
| Domain | ডোমেইন | function-এর বৈধ input-দের set |
| Codomain | কোডোমেইন | output যেখানে পড়ার অনুমতি আছে সেই set (\(f: A \to B\)-এর \(B\)) |
| Range | রেঞ্জ | আসলে যে output-গুলো বেরোয় তাদের set — codomain-এর অংশ |
| Sigma notation (\(\Sigma\)) | যোগের সংক্ষিপ্ত লিপি | \(\sum_{i=1}^{n} a_i\) — "\(i\) চালাও, হিসাব করো, সব যোগ করো" (ছদ্মবেশী for-loop) |
| Mean | গড় | সব মান যোগ করে সংখ্যা দিয়ে ভাগ: \(\bar{a} = \frac{1}{n}\sum a_i\) |
| Python | পাইথন | data science-এর প্রধান programming ভাষা |
| Library | লাইব্রেরি | অন্যদের লেখা ready-made কোডের সংগ্রহ (import করে ব্যবহার) |
| NumPy | নামপাই | সংখ্যার array-তে দ্রুত math করার Python library |
| matplotlib | ম্যাটপ্লটলিব | graph/ছবি আঁকার Python library |
| Jupyter Notebook | জুপিটার নোটবুক | কোড + লেখা + ছবি একসাথে রাখার interactive খাতা |
| Array (NumPy array) | অ্যারে | একই ধরনের সংখ্যার সারি, যার উপর একবারে math চালানো যায় |
| Vectorization | ভেক্টরাইজেশন | loop ছাড়া পুরো array-র উপর একসাথে অপারেশন চালানো |
| Indexing | ইনডেক্সিং | array-র নির্দিষ্ট element ধরা; Python-এ গোনা শুরু ০ থেকে |
| Slicing | স্লাইসিং | array-র টুকরো নেওয়া: a[1:3] (শেষ প্রান্ত বাদ) |
| Boolean masking | বুলিয়ান মাস্কিং | শর্ত দিয়ে array-র element বাছাই: h[h > 180] — কোডের set-builder |
np.linspace |
লিনস্পেস | দুই প্রান্তের মাঝে সমান ফাঁকে \(n\)টা সংখ্যা বানানো |
| Histogram | হিস্টোগ্রাম | একটা রাশির মানগুলো কোন এলাকায় কত ঘন — তার ছবি |
| Scatter plot | স্ক্যাটার প্লট | দুই রাশির সম্পর্ক দেখতে বিন্দু ছিটানো ছবি |
| Bar chart | বার চার্ট | দলভিত্তিক তুলনার জন্য স্তম্ভের ছবি |
| Line plot | লাইন প্লট | ধারাবাহিক মান (যেমন সময়ের সাথে) রেখা দিয়ে জোড়া ছবি |
| Error message | এরর মেসেজ | কোড ভুল হলে Python-এর ব্যাখ্যা-চিঠি — শেষ লাইনে ভুলের ধরন |
| Parabola | প্যারাবোলা | \(y = x^2\) জাতীয় function-এর U-আকৃতির curve |
| Quadratic formula | দ্বিঘাত সূত্র | \(ax^2+bx+c=0\)-এর সমাধান: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) |
| Inverse function | বিপরীত ফাংশন | যে function আরেকটার কাজ undo করে, যেমন \(\sqrt{x}\) বনাম \(x^2\) |
Part I¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Vector | ভেক্টর | সংখ্যার ordered list — একই সাথে arrow, list ও point |
| Entry / Element / Component | উপাদান | vector-এর ভেতরের এক-একটা সংখ্যা, \(v_i\) |
| Size / Dimension (of a vector) | আকার / মাত্রা | vector-এ মোট কয়টা entry আছে |
| \(n\)-vector | এন-ভেক্টর | \(n\)টা entry-ওয়ালা vector; সবার সেট \(\mathbb{R}^n\) |
| Scalar | স্কেলার | সাধারণ একটা একক সংখ্যা — vector নয় |
| \(\mathbb{R}^n\) | আর-এন | সব \(n\)-vector-এর সেট; \(v \in \mathbb{R}^n\) মানে \(v\)-তে \(n\)টা real entry |
| Vector equality | ভেক্টরের সমতা | size সমান এবং প্রতিটি জায়গার entry মিললে দুটি vector সমান |
| Zero vector | শূন্য ভেক্টর | সব entry \(0\); \(\mathbf{0}\) — origin-এ বসা দিকহীন বিন্দু |
| Standard unit vector | আদর্শ একক ভেক্টর | \(e_i\) — \(i\)-তম entry \(1\), বাকি সব \(0\); axis-বরাবর এক ধাপ |
| Ones vector | ওয়ানস ভেক্টর | সব entry \(1\); \(\mathbf{1}\) — গড় হিসাবের নিত্যসঙ্গী |
| Block / Stacked vector | জোড়া লাগানো ভেক্টর | ছোট vector-দের পরপর বসিয়ে বানানো বড় vector |
| Subvector / Slice | টুকরো ভেক্টর | বড় vector থেকে কাটা টানা অংশ, যেমন \(z_{2:3}\) |
| Sparse vector / Sparsity | স্পার্স ভেক্টর / বিরলতা | যে vector-এর বেশিরভাগ entry \(0\) |
| Feature vector | বৈশিষ্ট্য ভেক্টর | কোনো বস্তুর মাপগুলো এক vector-এ — ML model-এর চোখে পৃথিবী |
| Word embedding | শব্দ-ভেক্টর | প্রতিটা শব্দের সংখ্যা-রূপ, যাতে কাছাকাছি অর্থ = কাছাকাছি vector |
| Time series | সময়-ধারা | সময় ধরে নেওয়া মাপের ক্রম — একটা লম্বা vector |
| Displacement | সরণ | "কোথা থেকে কতটুকু কোন দিকে" — লেজ-মুক্ত arrow হিসেবে vector |
| Vector addition | ভেক্টর যোগ | entry ধরে ধরে যোগ: \((a+b)_i = a_i + b_i\); ছবিতে tip-to-tail |
| Entry-wise / Element-wise | উপাদান-ধরে | operation-টা প্রতিটি entry-তে আলাদা আলাদা খাটানো |
| Tip-to-tail rule | লেজ-মাথা নিয়ম | \(b\)-এর লেজ \(a\)-এর মাথায় বসিয়ে যোগফল আঁকা |
| Parallelogram rule | সামান্তরিক নিয়ম | লেজ এক জায়গায় রেখে সামান্তরিকের কর্ণ = যোগফল |
| Scalar multiplication | স্কেলার গুণ | \((\beta v)_i = \beta v_i\) — vector-কে টেনে লম্বা/খাটো/উল্টো করা |
| Vector subtraction | ভেক্টর বিয়োগ | \(b - a\) = "\(a\)-এর মাথা থেকে \(b\)-এর মাথায় যাওয়া arrow" |
| Additive inverse | যোগাত্মক বিপরীত | \(-v\) — যোগ করলে \(\mathbf 0\) মেলে: \(v + (-v) = \mathbf 0\) |
| Vector space | ভেক্টর স্পেস | যেখানে যোগ ও scalar গুণের ৮টি নিয়ম চলে (Part IV-এর বিষয়) |
| Centering (de-meaning a dataset) | কেন্দ্রীকরণ | প্রতিটি data vector থেকে গড়-vector বিয়োগ — মেঘ origin-এ সরে আসে |
| Interpolation | ইন্টারপোলেশন | \(x + \theta(y - x)\), \(\theta \in [0,1]\) — দুই বিন্দুর মাঝপথে চলা |
| Broadcasting (NumPy) | ব্রডকাস্টিং | ভিন্ন shape-এর array-তে NumPy-র নিয়মে operation ছড়িয়ে দেওয়া |
| Inner product / Dot product | ইনার প্রোডাক্ট / ডট প্রোডাক্ট | \(a^Tb = \sum_i a_i b_i\) — দুই vector থেকে একটি সংখ্যা |
| Transpose (notation \(a^T\)) | ট্রান্সপোজ | \(a^Tb\) লেখার \(T\)-চিহ্ন; পুরো অর্থ Part III-তে |
| Orthogonal | অর্থোগোনাল | \(a^Tb = 0\) — দুই vector পরস্পর লম্ব |
| Cosine similarity | কোসাইন সাদৃশ্য | \(\frac{a^Tb}{\|a\|\|b\|} \in [-1,1]\) — দৈর্ঘ্য বাদ, শুধু দিকের মিল |
| Weight vector / Weighted score | ওজন ভেক্টর / ওজনি স্কোর | গুরুত্ব-মাপগুলোর vector; score \(= w^Tx\) — linear model-এর হৃদয় |
| Selector vector | নির্বাচক ভেক্টর | \(0/1\)-এর vector, dot product দিয়ে বাছাই-করা entry-দের যোগফল তোলে |
| Flops / Complexity \(O(n)\) | ফ্লপস / জটিলতা | হিসাবের operation-সংখ্যা; dot product-এ \(\approx 2n\) |
| Norm (Euclidean) | নর্ম | \(\|x\| = \sqrt{x^Tx}\) — vector-এর দৈর্ঘ্য; Pythagoras-এর \(n\)-মাত্রিক রূপ |
| Unit vector | একক ভেক্টর | যার norm ঠিক \(1\); unit circle/sphere-এর বাসিন্দা |
| Normalize | নর্মালাইজ করা | \(\hat x = x/\|x\|\) — দিক রেখে দৈর্ঘ্য \(1\) বানানো |
| Distance | দূরত্ব | \(\text{dist}(a,b) = \|a - b\|\) — দুই point/vector-এর ফারাক |
| Cauchy–Schwarz inequality | কশি–শোয়ার্জ অসমতা | \(\vert a^Tb\vert \le \|a\|\|b\|\) — "ছায়া কখনো আসলের চেয়ে লম্বা না" |
| Triangle inequality | ত্রিভুজ অসমতা | \(\|a+b\| \le \|a\| + \|b\|\) — শর্টকাটই সবচেয়ে ছোট |
| Angle between vectors | ভেক্টরদ্বয়ের কোণ | \(\theta = \arccos\frac{a^Tb}{\|a\|\|b\|}\) — যেকোনো dimension-এ |
| RMS value | আর-এম-এস মান | \(\|x\|/\sqrt n\) — entry-দের "সাধারণ মাত্রা" |
| De-meaned vector | গড়-বাদ ভেক্টর | \(\tilde x = x - \mu\mathbf 1\) — প্রতিটি entry থেকে গড় বিয়োগ |
| Standard deviation | স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন | \(\|\tilde x\|/\sqrt n\) — ছড়িয়ে থাকা = de-meaned vector-এর দৈর্ঘ্য |
| Correlation coefficient | কোরিলেশন সহগ | দুই de-meaned vector-এর cosine — সম্পর্কের মাপ |
| Nearest neighbor | নিকটতম প্রতিবেশী | query থেকে distance সবচেয়ে কম যে data point |
| Linear combination | লিনিয়ার কম্বিনেশন | \(\beta_1 a_1 + \cdots + \beta_k a_k\) — scale করে যোগ; vector-দের রেসিপি |
| Coefficient | সহগ | combination-এর মাপ-সংখ্যাগুলো (\(\beta_i\)) |
| Trivial combination | ট্রিভিয়াল কম্বিনেশন | সব coefficient \(0\) — ফল সবসময় \(\mathbf 0\) |
| Affine combination | অ্যাফাইন কম্বিনেশন | যে combination-এ coefficient-দের যোগফল \(1\) (যেমন midpoint) |
| Span | স্প্যান | কিছু vector-এর সব linear combination-এর সেট — "কতদূর পৌঁছানো যায়" |
| Linearly independent | লিনিয়ারলি স্বাধীন | কেউই বাকিদের combination নয় — প্রত্যেকে নতুন দিক |
| Linearly dependent | লিনিয়ারলি পরনির্ভর | কেউ একজন বাকিদের combination — "ভুতুড়ে নব", নতুন খবর নেই |
| Singular matrix (error) | সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স | NumPy-র অভিযোগ: vector-গুলো dependent, system solve হয় না |
Part II — Linear Systems¶
Chapter 2.1 — System of Linear Equations¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Linear Equation | রৈখিক সমীকরণ | যে সমীকরণে variable-রা শুধু প্রথম ঘাতে, শুধু সংখ্যার সাথে গুণ হয়: \(a_1x_1+\cdots+a_kx_k=b\) |
| System of Linear Equations | রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম | একাধিক linear equation, যাদের সব একসাথে মানতে হবে |
| Unknown / Variable | অজানা / চলক | যে রাশিগুলোর মান খুঁজছি (\(x_1,\dots,x_k\)) |
| Coefficient | সহগ | variable-এর সাথে গুণ হওয়া জানা সংখ্যা |
| Constant Term | ধ্রুবক পদ | সমীকরণের ডানপাশের জানা সংখ্যা \(b\) |
| Solution | সমাধান | variable-দের এমন মানগুচ্ছ যা প্রতিটা equation সত্য করে |
| Solution Set | সমাধান সেট | সব সমাধানের সেট |
| Matrix Equation | ম্যাট্রিক্স সমীকরণ | সিস্টেমের \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) পোশাক — coefficient-রা \(A\)-তে, unknown-রা \(\mathbf{x}\)-এ |
| Augmented Matrix | অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্স | coefficient আর \(\mathbf{b}\) একসাথে এক টেবিলে: \((A\,\vert\,\mathbf{b})\); প্রতি row = এক equation |
| Row Picture | রো পিকচার | প্রতিটা equation-কে লাইন/প্লেন হিসেবে আঁকা; সমাধান = সবার ছেদ |
| Column Picture | কলাম পিকচার | সমাধানকে দেখা \(A\)-র column-দের মিশ্রণের রেসিপি হিসেবে — কোন column কতটুকু নিলে \(\mathbf{b}\) পাই |
| Intersection Point | ছেদবিন্দু | যে বিন্দুতে লাইন/প্লেনরা মেলে — row picture-এ সমাধানের চেহারা |
| Plane | সমতল | 3D-তে এক linear equation-এর আঁকা চ্যাপ্টা পৃষ্ঠ |
| Trichotomy | তিন-ভাগ্য নিয়ম | linear system-এর সমাধান-সংখ্যা \(0\), \(1\), নয়তো \(\infty\) — মাঝামাঝি কিছু নেই |
| Consistent | সামঞ্জস্যপূর্ণ | যে সিস্টেমের অন্তত একটা সমাধান আছে |
| Inconsistent | অসামঞ্জস্যপূর্ণ | যে সিস্টেমের কোনো সমাধান নেই |
| Homogeneous | সমসত্ত্ব | ডানপাশ শূন্য: \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\); কখনো সমাধানহীন হয় না |
| Trivial Solution | তুচ্ছ সমাধান | homogeneous সিস্টেমের "সবাই শূন্য" সমাধান \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\) |
| Singular | সিঙ্গুলার | যে matrix-এর column-রা একে অন্যের ছায়া — একক সমাধান দেওয়ার ক্ষমতা নেই |
Chapter 2.2 — Gaussian Elimination ও RREF¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Elementary Row Operation (ERO) | এলিমেন্টারি রো অপারেশন | সমাধান সেট না বদলানো তিন চাল: swap, scale, add |
| Swap | অদলবদল | দুটো row-এর জায়গা বদল: \(R_i \leftrightarrow R_j\) |
| Scale | মাপবদল | একটা row-কে nonzero সংখ্যা দিয়ে গুণ: \(R_i \leftarrow cR_i\) |
| Add | গুণিতক-যোগ | এক row-এর গুণিতক আরেক row-তে যোগ: \(R_i \leftarrow R_i + cR_j\) |
| Row Equivalent | রো ইকুইভ্যালেন্ট | দুটো matrix, যাদের একটাকে EROs দিয়ে অন্যটা বানানো যায় (চিহ্ন \(\sim\)) |
| Gaussian Elimination | গাউসিয়ান এলিমিনেশন | EROs দিয়ে সিস্টেমকে ধাপে ধাপে সিঁড়ি-আকারে সরল করার যান্ত্রিক অ্যালগরিদম |
| Row Echelon Form (REF) | রো এশেলন ফর্ম | forward pass শেষের সিঁড়ি-আকার — pivot-এর নিচে সব শূন্য, উপরে তখনো নয় |
| Reduced Row Echelon Form (RREF) | রিডিউসড রো এশেলন ফর্ম | সবচেয়ে পরিষ্কার রূপ: pivot \(=1\), pivot column-এ একা, সিঁড়ি ডানে নামে, শূন্য row নিচে — এবং unique |
| Pivot | পিভট | প্রতি row-এর প্রথম nonzero entry (RREF-এ \(1\)); সিঁড়ির প্রতিটা ধাপ |
| Pivot Column | পিভট কলাম | যে column-এ pivot আছে |
| Free Variable | মুক্ত চলক | pivot-হীন column-এর variable — মান খুশিমতো, parameter হয়ে সমাধানে ঘোরে |
| Forward Pass | ফরোয়ার্ড পাস | elimination-এর প্রথম অর্ধ: উপর থেকে নিচে, pivot-এর নিচ শূন্য করা |
| Backward Pass | ব্যাকওয়ার্ড পাস | দ্বিতীয় অর্ধ: নিচ থেকে উপরে, pivot-এর উপরও শূন্য করা → RREF |
| Partial Pivoting | পার্শিয়াল পিভটিং | নির্ভুলতার জন্য column-এর সবচেয়ে বড় entry-কে swap করে pivot বানানো |
| Rank | র্যাঙ্ক | pivot-সংখ্যা = matrix-এর "স্বাধীন তথ্যের" পরিমাণ (পুরো গল্প Part IV-এ) |
Chapter 2.3 — Elementary Matrices ও LU Decomposition¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Elementary Matrix | এলিমেন্টারি ম্যাট্রিক্স | \(I\)-র উপর একটা ERO করা matrix; \(EA\) = সেই ERO করা \(A\) — "চাল দেওয়া = বাঁ থেকে গুণ" |
| Inverse | ইনভার্স | matrix-এর "undo": \(E^{-1}E = I\); প্রতিটা elementary matrix-এর inverse-ও elementary |
| Triangular Matrix | ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স | diagonal-এর এক পাশে সব শূন্য এমন matrix |
| Lower Triangular | নিম্ন-ত্রিভুজাকার | diagonal-এর উপরে সব শূন্য |
| Upper Triangular | ঊর্ধ্ব-ত্রিভুজাকার | diagonal-এর নিচে সব শূন্য |
| Unit Lower Triangular | ইউনিট নিম্ন-ত্রিভুজাকার | lower triangular যার diagonal-এ সব \(1\) — LU-র \(L\) এই জাতের |
| LU Decomposition | এল-ইউ বিশ্লেষণ | \(A = LU\): elimination-এর চালের খাতা (\(L\)) × ফলাফল (\(U\)) — solve-বান্ধব ফরম্যাট |
| Multiplier | গুণক | elimination-এ \(R_i \leftarrow R_i - \ell_{ij}R_j\) চালের সেই \(\ell_{ij}\) — সোজা চিহ্নে \(L\)-এর \((i,j)\) ঘরে বসে |
| Forward Substitution | ফরোয়ার্ড সাবস্টিটিউশন | \(L\mathbf{c}=\mathbf{b}\) উপর থেকে নিচে বসিয়ে-বসিয়ে solve |
| Back Substitution | ব্যাক সাবস্টিটিউশন | \(U\mathbf{x}=\mathbf{c}\) নিচ থেকে উপরে বসিয়ে-বসিয়ে solve |
| Permutation Matrix | পারমুটেশন ম্যাট্রিক্স | identity-র row-রা এলোমেলো করা matrix; সব row swap একসাথে জমা রাখে (\(PA=LU\)) |
| Cholesky Decomposition | কোলেস্কি বিশ্লেষণ | positive definite matrix-এর জন্য LU-র সস্তা ভাই (Part VI ও VIII-এ) |
| Determinant | নির্ণায়ক | triangular matrix-এ diagonal-এর গুণফল; LU দিয়ে দ্রুত হিসাব হয় (Part VI-এ) |
Chapter 2.4 — Solution Set-এর Geometry¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Hyperplane | হাইপারপ্লেন | \(\mathbb{R}^n\)-এ এক linear equation-এর আঁকা \((n-1)\)-মাত্রিক চ্যাপ্টা জিনিস — লাইন/প্লেনের বড় ভাই |
| Degrees of Freedom | স্বাধীনতার মাত্রা | কয়টা সংখ্যা স্বাধীনভাবে বাছা যায়; প্রতিটা কার্যকর শর্ত একটা করে খায় |
| Homogeneous System | সমসত্ত্ব সিস্টেম | \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) — প্রতিটা সিস্টেমের "ছায়াসঙ্গী" |
| Particular Solution (\(\mathbf{x}^P\)) | নির্দিষ্ট সমাধান | \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\)-এর যেকোনো একটা সমাধান — সেটের "দাঁড়ানোর জায়গা" |
| Homogeneous Solution (\(\mathbf{x}^H\)) | সমসত্ত্ব সমাধান | \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\)-এর সমাধান — সেটের "হাঁটার দিক"; মুকুট-উপপাদ্য: সমাধান \(=\mathbf{x}^P+\mathbf{x}^H\) |
| Null Space | নাল স্পেস | homogeneous সমাধানদের গোটা জগৎ — মিশ্রণে বন্ধ, origin-ভেদী (Part IV-এর নায়ক) |
| Subspace | সাবস্পেস | যোগ ও স্কেলার-গুণে বন্ধ, origin-ধারী সেট — null space তার প্রথম উদাহরণ (Part IV-এ সংজ্ঞা) |
| Affine Combination | অ্যাফাইন কম্বিনেশন | \(c\mathbf{u}+d\mathbf{v}\) যেখানে \(c+d=1\) — সমাধান-জোড়ার এমন মিশ্রণ আবার সমাধান |
| Affine Set / Flat | অ্যাফাইন সেট / ফ্ল্যাট | subspace-এর সরানো কপি — লাইন/প্লেন-জাতীয়, origin দিয়ে না-ও যেতে পারে |
| Solution Manifold | সলিউশন ম্যানিফোল্ড | ML-এ loss-শূন্য parameter-দের বিশাল উঁচু-মাত্রার সমাধান সেট |
| Rank–Nullity Theorem | র্যাঙ্ক–নালিটি উপপাদ্য | \(\dim(\text{solution set}) = \#\text{variables} - \#\text{pivots}\) — এখানে প্রথম ঝলক (Part IV-এ পূর্ণরূপ) |
Chapter 2.5 — A Taste of the Simplex Method¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Linear Programming (LP) | লিনিয়ার প্রোগ্রামিং | linear শর্তের মধ্যে linear রাশির সেরা মান খোঁজার সমস্যা; "programming" = পরিকল্পনা |
| Inequality | অসমতা | \(\le, \ge\)-ওয়ালা শর্ত — সমাধান এক পাশজুড়ে অসংখ্য |
| Decision Variable | সিদ্ধান্ত চলক | যে সংখ্যাগুলো আমরা বেছে নিই (কত রুটি, কত কলা) |
| Objective Function | লক্ষ্য ফাংশন | যে linear রাশি minimize/maximize করতে চাই |
| Constraint | শর্ত | decision variable-দের উপর linear সমতা/অসমতা |
| Feasible Solution | সম্ভাব্য সমাধান | সব শর্ত-মানা একটা বিন্দু |
| Feasible Region | সম্ভাব্য অঞ্চল | সব feasible বিন্দুর সেট — half-plane-দের ছেদ |
| Optimal Solution / Optimum | সেরা সমাধান | feasible region-এর যে বিন্দুতে objective সেরা |
| Half-plane / Half-space | অর্ধ-সমতল | এক inequality-র আঁকা ছবি: hyperplane-এর এক পাশ (hyperplane-সহ) |
| Vertex | শীর্ষবিন্দু / কোণা | feasible region-এর কোণা — দুই (বা বেশি) constraint-সীমানার ছেদ; optimum এখানেই বসে |
| Polytope | পলিটোপ | বেশি মাত্রায় feasible region-এর চেহারা — চ্যাপ্টা মুখ, সোজা কিনারা, ধারালো কোণার "কাটা হীরা" |
| Convex | উত্তল | সেটের যেকোনো দুই বিন্দুর সংযোগ-রেখা পুরোটা সেটের ভেতরে — খাঁজ/গর্তহীন |
| Iso-cost Line (Level Line) | সম-খরচ লাইন | যে লাইনের সব বিন্দুতে objective-এর মান সমান; এটাকে ঠেলেই optimum খোঁজা |
| Simplex Method | সিমপ্লেক্স পদ্ধতি | কোণা থেকে প্রতিবেশী কোণায় হাঁটা, প্রতি হপে উন্নতি — থামলেই optimum |
| Slack Variable | স্ল্যাক চলক | inequality-কে equation বানানোর সাহায্যকারী: \(x+y\le22 \iff x+y+s=22,\ s\ge0\) |
| Tableau | টেবলো | simplex-এর কাজের টেবিল — augmented matrix-এর আত্মীয়, যার উপর pivot/row operation চলে |
| Infeasible | অসম্ভাব্য | শর্তরা পরস্পরবিরোধী — feasible region-ই খালি, optimum নেই |
| Unbounded | অসীমাবদ্ধ | region খোলা দিকে objective ভালো হতেই থাকে — সসীম optimum নেই |
| Interior Point Method | ইন্টেরিয়র পয়েন্ট পদ্ধতি | simplex-এর প্রতিদ্বন্দ্বী — কিনারা ধরে নয়, region-এর ভেতর দিয়ে optimum-এ যায় |
| Integer Programming | ইন্টিজার প্রোগ্রামিং | variable-দের পূর্ণসংখ্যা হতে হবে এমন LP-র ভাই — দেখতে কাছের, কঠিনে বহুদূর |
Part III — Matrices ও Linear Transformations¶
Chapter 3.1 — Matrix কি: টেবিল নয়, transformation¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Matrix | ম্যাট্রিক্স | \(m\) row × \(n\) column-এ সাজানো সংখ্যার আয়তাকার বিন্যাস — একই সাথে data-পাত্র ও space-এর transformation |
| Transformation | রূপান্তর (ট্রান্সফরমেশন) | Space-এর ওপর matrix-এর action — vector ঢোকে, নতুন vector বেরোয় |
| Row | সারি (রো) | Matrix-এর আনুভূমিক লাইন; \(a_{ij}\)-তে আগের index \(i\) |
| Column | কলাম | Matrix-এর খাড়া লাইন; মূলমন্ত্র — column \(j\) = \(A\mathbf{e}_j\) = basis vector-এর গন্তব্য |
| Entry | এন্ট্রি | Matrix-এর একটা ঘরের সংখ্যা; \(a_{ij}\) = row \(i\), column \(j\) |
| Square Matrix | বর্গ ম্যাট্রিক্স | \(m = n\)-ওয়ালা matrix — row ও column সমান |
| Row Picture | রো পিকচার | \(A\mathbf{x}\)-এর \(i\)-তম entry = (row \(i\)) \(\cdot \mathbf{x}\) — হিসাবের হাতিয়ার |
| Column Picture | কলাম পিকচার | \(A\mathbf{x}\) = column-দের linear combination — বোঝার হাতিয়ার |
| Linearity | রৈখিকতা (লিনিয়ারিটি) | \(A(\mathbf{u}+\mathbf{v})=A\mathbf{u}+A\mathbf{v}\) ও \(A(c\mathbf{v})=cA\mathbf{v}\) — matrix-এর মূল স্বভাব |
| Basis Vector | ভিত্তি ভেক্টর (বেসিস ভেক্টর) | \(\mathbf{e}_1=(1,0)\), \(\mathbf{e}_2=(0,1)\) — যাদের গন্তব্যই matrix-এর column |
| Design Matrix | ডিজাইন ম্যাট্রিক্স | ML-এর সেই \(X\) — প্রতি row একটা observation, প্রতি column একটা feature |
| Adjacency Matrix | সংলগ্নতা ম্যাট্রিক্স (অ্যাডজেসেন্সি ম্যাট্রিক্স) | নেটওয়ার্কের matrix-রূপ: \(a_{ij}=1\) যদি \(i,j\) যুক্ত, নাহলে \(0\) |
| Zero Matrix | জিরো ম্যাট্রিক্স | সব entry \(0\) — পুরো plane-কে origin-এ চুপসে দেয়, undo নেই |
Chapter 3.2 — Matrix × Vector: space-কে বাঁকানো¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Rotation | ঘূর্ণন (রোটেশন) | Plane-কে origin-এর চারদিকে \(\theta\) কোণে ঘোরায়; \(R_\theta=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}\), দৈর্ঘ্য অটুট |
| Shear | শিয়ার (হেলানো/কাঁচি) | তাসের deck-এর মতো হেলিয়ে দেয়; বর্গ→parallelogram হলেও area একই |
| Scaling | স্কেলিং (টানা-চাপা) | অক্ষ বরাবর টানা/চাপা; \(\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}\), area factor \(\vert ab\vert\) |
| Projection | প্রজেকশন (ছায়া ফেলা) | Plane-কে চুপসে লাইনে নামায়; তথ্য গিলে ফেলে, undo নেই |
| Unit Square | একক বর্গ (ইউনিট স্কয়ার) | \((0,0),(1,0),(1,1),(0,1)\) কোণার বর্গ — transformation-এর "পরীক্ষার কাঠি" |
| Diagonal Matrix | ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স | Diagonal ছাড়া সব entry \(0\) — খাঁটি scaling-এর চেহারা |
| Determinant | ডিটারমিন্যান্ট | Transformation-এর area scale factor; \(0\) মানে space চ্যাপ্টা |
| Idempotent | আইডেমপোটেন্ট (অভেদঘাতী) | \(P^2=P\) — দুইবার করলে নতুন কিছু হয় না, projection-এর সংজ্ঞায়িত ধর্ম |
| Reflection | রিফ্লেকশন (প্রতিফলন) | কোনো রেখার সাপেক্ষে আয়নার মতো উল্টে দেয়; orientation বদলায় |
| Uniform Scaling | ইউনিফর্ম স্কেলিং | সব দিকে সমান টান (\(a=b\)) — দিক অটুট, শুধু আকার বদল |
| Orientation | অভিমুখ (ওরিয়েন্টেশন) | Space-এর "হাত"; reflection উল্টে দিলে det-এর চিহ্ন ঋণাত্মক হয় |
| Vectorization | ভেক্টরাইজেশন | অনেক বিন্দু একসাথে এক matrix-গুণে transform — লুপ ছাড়াই |
Chapter 3.3 — Matrix Multiplication = Composition of Functions¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Matrix Multiplication | ম্যাট্রিক্স গুণন (ম্যাট্রিক্স মাল্টিপ্লিকেশন) | \((BA)_{ij}\) = (B-র row \(i\))·(A-র column \(j\)); "মোট প্রভাব" হিসাবের মেশিন |
| Composition | সংযোজন (কম্পোজিশন) | "আগে \(A\), পরে \(B\)" পরপর চালানো: \((BA)\mathbf{x}=B(A\mathbf{x})\); ডান→বাঁ পড়ো |
| Product Matrix | প্রোডাক্ট ম্যাট্রিক্স | দুই transformation-এর কম্বো-effect এক লাফে দেওয়া matrix \(BA\) |
| Shape Rule | শেপ রুল (আকারের নিয়ম) | \((m\times n)(n\times p)=(m\times p)\) — ভেতরের \(n\) মিলতেই হবে |
| Associative | সংযোজনশীল (অ্যাসোসিয়েটিভ) | \((AB)C=A(BC)\) — composition-এ বন্ধনী কোথায় তা অবান্তর |
| Distributive | বণ্টনশীল (ডিস্ট্রিবিউটিভ) | \(A(B+C)=AB+AC\) — linearity থেকে সরাসরি |
| Commutative | বিনিময়যোগ্য (কমিউটেটিভ) | \(AB=BA\) হওয়ার ধর্ম — matrix-এ সাধারণত খাটে না (জামা-কোট) |
| Identity Matrix | আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স | "কিছু কোরো না" matrix \(I\); \(IA=AI=A\) |
| Matrix Power | ম্যাট্রিক্স পাওয়ার | \(A^n=AA\cdots A\) — একই transformation \(n\) বার |
| Zero Divisor | জিরো ডিভাইজর | Nonzero \(A,B\) হয়েও \(AB=0\) হওয়া সম্ভব — সংখ্যার জগতে অসম্ভব চমক |
| Nilpotent | নিলপোটেন্ট (শূন্যঘাতী) | Nonzero হয়েও কোনো power শূন্য: \(M^k=0\), যদিও \(M\neq0\) |
| Angle-Addition Formula | কোণ-যোগ সূত্র (অ্যাঙ্গেল-অ্যাডিশন) | \(R_\alpha R_\beta=R_{\alpha+\beta}\) থেকে বিনামূল্যে প্রমাণিত \(\cos/\sin(\alpha+\beta)\) সূত্র |
Chapter 3.4 — Inverse Matrix: "undo" বোতাম¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Inverse Matrix | বিপরীত ম্যাট্রিক্স (ইনভার্স ম্যাট্রিক্স) | Transformation-এর undo বোতাম: \(A^{-1}A=AA^{-1}=I\) |
| Invertible | বিপরীতযোগ্য (ইনভার্টিবল) | যে matrix-এর inverse আছে — তথ্য হারায় না, undo সম্ভব |
| Singular Matrix | সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স | \(ad-bc=0\)-ওয়ালা matrix — space চ্যাপ্টা করে, inverse নেই |
| Non-singular | নন-সিঙ্গুলার | Invertible-এর আরেক নাম; \(\det\neq0\) |
| Gauss-Jordan Elimination | গাউস-জর্ডান এলিমিনেশন | \([A\mid I]\to[I\mid A^{-1}]\) পথে বড় matrix-এর inverse বের করার রাজপথ |
| Socks-Shoes Rule | মোজা-জুতা নিয়ম (সকস-শুজ) | \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) — খোলার ক্রম পরার ঠিক উল্টো |
| Inverse Kinematics | ইনভার্স কাইনেম্যাটিক্স | "হাত ওই বিন্দুতে নিতে জয়েন্ট কত ঘোরাব" — forward-এর উল্টোযাত্রা |
| Normal Equation | নরমাল ইকুয়েশন | Linear regression-এর \(\hat{\boldsymbol\beta}=(X^\top X)^{-1}X^\top\mathbf{y}\) — মাঝে inverse |
| Involution | ইনভোলিউশন | নিজের inverse নিজেই: \(A^2=I\) (যেমন যেকোনো reflection) |
| Determinant (2×2) | ডিটারমিন্যান্ট | \(ad-bc\) — invertible কিনা তার এক-সংখ্যার রোগ-নির্ণয়, আর area factor |
| solve vs inv | সলভ বনাম ইনভ | কোডে \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) সমাধানে inv(A)@b নয়, solve(A,b) — দ্রুত ও stable |
Chapter 3.5 — Transpose, Trace ও Special Matrices¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Transpose | ট্রান্সপোজ | Row ↔ column অদলবদল: \((A^\top)_{ij}=A_{ji}\); diagonal-এ আয়না |
| Trace | ট্রেস | Diagonal entry-দের যোগফল; \(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\) — বিশৃঙ্খলায় টিকে থাকা সংখ্যা |
| Symmetric Matrix | সিমেট্রিক ম্যাট্রিক্স (প্রতিসম) | \(S=S^\top\); \(A^\top A\) সবসময় symmetric — Data Science-এর ব্যস্ততম চেহারা |
| Permutation Matrix | পারমুটেশন ম্যাট্রিক্স | Identity-র row ঘুঁটে বানানো; entry-দের জায়গা বদলায়, \(P^\top=P^{-1}\) |
| Triangular Matrix | ট্রায়াঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স | Diagonal-এর এক পাশ পুরো \(0\); diagonal nonzero ⟺ invertible |
| Block Matrix | ব্লক ম্যাট্রিক্স | বড় matrix-কে ছোট block-এ ভেঙে "সংখ্যার মতো" গুণ (ক্রম অটুট রেখে) |
| Main Diagonal | মূল কর্ণ (মেইন ডায়াগোনাল) | \(a_{11},a_{22},\dots\) — উপরে-বাঁ থেকে নিচে-ডান তির্যক লাইন |
| Antisymmetric Matrix | অ্যান্টিসিমেট্রিক ম্যাট্রিক্স | \(K^\top=-K\); diagonal-এ বাধ্যতামূলক \(0\) |
| Outer Product | আউটার প্রোডাক্ট (বাইরের গুণফল) | \(\mathbf{x}\mathbf{y}^\top\) — দুই vector থেকে আস্ত (rank-1, singular) matrix |
| Inner Product | ইনার প্রোডাক্ট (dot product) | \(\mathbf{x}^\top\mathbf{y}\) — dot product-এর matrix-পোশাক, ফল একটা সংখ্যা |
| Block Diagonal | ব্লক ডায়াগোনাল | \(\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}\) — দুটো স্বাধীন transformation পাশাপাশি |
| Covariance Matrix | কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স | \(X^\top X\)-জাত feature-সম্পর্কের symmetric টেবিল; PCA-র শুরু |
Chapter 3.6 — Linear Transformation, Formally¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Linear Transformation | রৈখিক রূপান্তর (লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশন) | Additivity ও homogeneity — দুই শর্ত মানা function; প্রতিটাই matrix |
| Additivity | অ্যাডিটিভিটি (যোজনশীলতা) | শর্ত ১: \(L(\mathbf{u}+\mathbf{v})=L(\mathbf{u})+L(\mathbf{v})\) — যোগে কারচুপি নেই |
| Homogeneity | হোমোজেনিটি (সমমাত্রিকতা) | শর্ত ২: \(L(c\mathbf{v})=cL(\mathbf{v})\) — স্কেলে কারচুপি নেই |
| Superposition | উপরিপাতন (সুপারপজিশন) | এক লাইনে দুই শর্ত: \(L(a\mathbf{u}+b\mathbf{v})=aL(\mathbf{u})+bL(\mathbf{v})\) |
| Affine | অ্যাফাইন | Linear + translation (\(W\mathbf{x}+\mathbf{b}\)); origin সরে, তাই linear নয় |
| Translation | ট্রান্সলেশন (সরণ) | সবাইকে এক দিকে ঠেলা \(\mathbf{v}\mapsto\mathbf{v}+\mathbf{c}\) — origin নড়ায়, nonlinear |
| Origin Test | অরিজিন টেস্ট | \(L(\mathbf{0})\neq\mathbf{0}\) হলেই বাতিল — সস্তা ও ধারালো linearity-জেরা |
| Linear Operator | লিনিয়ার অপারেটর | Vector space-এর ওপর linear map; derivative, integral, expectation সবাই |
| Homogeneous Coordinates | হোমোজিনিয়াস কোঅর্ডিনেট | এক মাত্রা বাড়িয়ে translation-কেও matrix-এ ধরার graphics-কৌশল |
| Functional | ফাংশনাল | \(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) linear map — কোনো fixed vector-এর সাথে dot product |
| Standard Basis | স্ট্যান্ডার্ড বেসিস | \(\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n\) — সুবিধাজনক, তবে যেকোনো স্বাধীন সেটই চলে |
| Convolution | কনভোলিউশন | Blur/sharpen/edge-detect image filter — linear, তাই (বিশাল) matrix-রূপে লেখা যায় |
Part IV — Vector Spaces ও তাদের গঠন¶
Chapter 4.1 — Vector Space ও Subspace¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Vector Space | ভেক্টর স্পেস | এমন set যা addition ও scalar multiplication-এ closed, সাথে ১০টি ভদ্রতা-নিয়ম মানে |
| Subspace | সাবস্পেস | বড় space-এর ভেতরের subset যে inherited operation-এ নিজেই একটা vector space |
| Closure | ক্লোজার | "বদ্ধতা" — যোগ বা scalar গুণ করলেও ফল ঘরের বাইরে যায় না |
| Axiom | অ্যাক্সিওম (স্বতঃসিদ্ধ) | যে মৌলিক নিয়ম ধরে নেওয়া হয়, প্রমাণ লাগে না — vector space-এর এমন ১০টি আছে |
| Zero Vector | জিরো ভেক্টর | \(u + 0_V = u\) মানা বিশেষ vector; প্রতিটি subspace-এ থাকতেই হবে |
| Additive Inverse | অ্যাডিটিভ ইনভার্স | প্রতিটি \(u\)-এর "উল্টো" \(w\) যেন \(u + w = 0_V\); সবসময় \((-1)\cdot v = -v\) |
| Subspace Theorem | সাবস্পেস থিওরেম | Non-empty \(U\) subspace \(\iff\) যেকোনো linear combination \(\mu u_1 + \nu u_2 \in U\) |
| Linear Combination | লিনিয়ার কম্বিনেশন | Vector-দের scalar দিয়ে গুণ করে যোগফল: \(\mu u_1 + \nu u_2\) |
| Polynomial Space \(P_n\) | পলিনোমিয়াল স্পেস | ডিগ্রি \(\le n\) সব polynomial-এর vector space, zero হলো \(p(t)=0\) |
| Function Space | ফাংশন স্পেস | সব \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) function-এর vector space, zero হলো \(f(x)=0\) |
| Intersection (of subspaces) | ইন্টারসেকশন | দুই subspace-এর সাধারণ অংশ \(U\cap W\) — আবার subspace (union সাধারণত নয়) |
| Symmetric Matrix | সিমেট্রিক ম্যাট্রিক্স | \(A^T = A\) মানা matrix; এদের set \(M_{2\times2}\)-এর একটা subspace |
Chapter 4.2 — Linear Independence¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Linear Independence | লিনিয়ার ইন্ডিপেন্ডেন্স | \(0\) বানানোর একমাত্র উপায় সব coefficient \(0\) — প্রত্যেকে নতুন দিক আনে |
| Linear Dependence | লিনিয়ার ডিপেন্ডেন্স | \(0\) বানানোর অশূন্য রেসিপি আছে — কেউ একজন redundant |
| Redundant Vector | রিডান্ড্যান্ট ভেক্টর | "অপ্রয়োজনীয়" সদস্য যাকে বাকিদের linear combination দিয়ে বানানো যায় |
| Homogeneous System | হোমোজিনিয়াস সিস্টেম | \(Mc = 0\) ধাঁচের system; এর অশূন্য solution থাকলে দল dependent |
| RREF | আর-আর-ই-এফ | Reduced Row Echelon Form; প্রতিটি column-এ pivot মানেই independent |
| Pivot | পিভট | RREF-এ প্রতিটি সারির প্রথম \(1\); pivot-হীন column মানে free variable |
| Free Variable | ফ্রি ভেরিয়েবল | Pivot-বিহীন column-এর অজানা, যাকে ইচ্ছেমতো বসানো যায় — dependence-এর চিহ্ন |
| Determinant Test | ডিটারমিন্যান্ট টেস্ট | Square ক্ষেত্রে \(\det M \ne 0 \iff\) independent, \(\det M = 0 \iff\) dependent |
| Multicollinearity | মাল্টিকোলিনিয়ারিটি | Dataset-এ dependent column (redundant feature) — regression অস্থির করে |
| Rank (preview) | র্যাঙ্ক | Matrix-এর স্বাধীন column-সংখ্যা; rank \(=\) vector-সংখ্যা হলে independent |
| Null Space Vector | নাল স্পেস ভেক্টর | \(Mc = 0\)-এর অশূন্য solution \(c\) — dependence-এর "রেসিপি" |
Chapter 4.3 — Basis¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Basis | বেসিস | Span + independent — vector space-এর নিখুঁত ঠিকানা-ব্যবস্থা |
| Span | স্প্যান | কয়েকটা vector-এর সব linear combination মিলে যা পৌঁছানো যায় |
| Coordinates | কোঅর্ডিনেটস (স্থানাঙ্ক) | \(v = c_1b_1 + \cdots + c_nb_n\)-এর সেই অনন্য \(c\)-column, লেখা \([v]_B\) |
| Standard Basis | স্ট্যান্ডার্ড বেসিস | \(\{e_1, \ldots, e_n\}\) — default ভাষা, যাতে coordinates বের করতে কাজ লাগে না |
| Uniqueness Theorem | ইউনিকনেস থিওরেম | Basis-এ প্রতিটি vector-কে exactly এক ভাবেই লেখা যায় |
| Basis Matrix | বেসিস ম্যাট্রিক্স | \(P = (b_1 \cdots b_n)\); coordinates বের করার সমীকরণ \([v]_B = P^{-1}v\) |
| Coordinate Isomorphism | কোঅর্ডিনেট আইসোমরফিজম | Basis fix করলে \(v \mapsto [v]_B\) যোগ-scale রক্ষাকারী নিখুঁত অনুবাদ |
| Invertible Matrix | ইনভার্টিবল ম্যাট্রিক্স | \(\mathbb{R}^n\)-এ \(n\)টা vector basis \(\iff\) matrix \(P\) invertible (\(\det P \ne 0\)) |
| Ordered Basis | অর্ডার্ড বেসিস | ক্রম-ঠিক-করা basis \((b_1, \ldots, b_n)\) — coordinates লিখতে ক্রম জরুরি |
| Orthonormal Basis (preview) | অর্থোনরমাল বেসিস | যে বিশেষ basis-এ dot product দিয়েই coordinates মেলে (Part V-এ পূর্ণ) |
Chapter 4.4 — Dimension ও Change of Basis¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Dimension | ডাইমেনশন (মাত্রা) | যেকোনো basis-এর সদস্যসংখ্যা — সব basis-এ একই, space-এর নিজস্ব পরিচয় |
| Finite-Dimensional | ফাইনাইট-ডাইমেনশনাল | যে space-এর কোনো basis-এ সসীম সংখ্যক vector থাকে |
| Change of Basis Matrix | চেঞ্জ অফ বেসিস ম্যাট্রিক্স | \(P = (b_1 \cdots b_n)\) যার column-এ নতুন basis-এর পুরনো-ভাষার রূপ |
| Exchange Argument | এক্সচেঞ্জ আর্গুমেন্ট | এক-ঢোকে-এক-বেরোয় যুক্তি: independent দল কখনো basis-এর চেয়ে বড় নয় |
| Well-Defined | ওয়েল-ডিফাইনড | সংজ্ঞাটা অর্থবহ কারণ সব basis-এ সংখ্যা একই — dimension তাই বৈধ |
| Corollary | কোরোলারি (উপসিদ্ধান্ত) | মূল theorem থেকে সহজে বেরিয়ে আসা ফলাফল, যেমন \(m = n\) |
| Transit (via standard) | ট্রানজিট | দুই non-standard basis-এ যেতে standard-কে মাঝপথ ধরা: \(P'^{-1}P\) |
| PCA | পি-সি-এ | Data-র নিজের পছন্দের basis-এ চশমা বদলানো — change of basis-এর প্রয়োগ |
| DCT / Cosine Basis | ডিসিটি (কোসাইন বেসিস) | JPEG-এ ছবির pixel-কে cosine-wave basis-এ লেখা — compression-এর মূল |
| Whitening | হোয়াইটেনিং | Feature-দের নতুন basis-এ রূপান্তর যেন প্রতিটা দিক স্বাধীন হয় |
Chapter 4.5 — Kernel, Range ও Rank–Nullity Theorem¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Kernel | কার্নেল | \(L(v) = 0\) মানা সবাই — "চাপা-পড়া" দিক; \(Ax=0\)-এর solution set, subspace |
| Null Space | নাল স্পেস | Kernel-এর আরেক নাম — \(Ax = 0\)-এর সব solution-এর subspace |
| Range | রেঞ্জ | সম্ভাব্য সব output-এর set; matrix-এ column-দের span |
| Image | ইমেজ | Range-এর আরেক নাম — \(\{L(v) : v \in V\}\) |
| Column Space | কলাম স্পেস | Matrix-এর range — column-গুলোর span |
| Rank | র্যাঙ্ক | \(\dim(\text{range})\) — কতগুলো দিক বেঁচে থাকে |
| Nullity | নালিটি | \(\dim(\text{kernel})\) — কতগুলো দিক শূন্যে চাপা পড়ে |
| Rank–Nullity Theorem | র্যাঙ্ক–নালিটি থিওরেম | \(\operatorname{rank} + \operatorname{nullity} = n\) — input-মাত্রার নিখুঁত ভাগবাটোয়ারা |
| One-to-One (Injective) | ওয়ান-টু-ওয়ান (ইনজেক্টিভ) | ভিন্ন input সবসময় ভিন্ন output; \(\iff \ker L = \{0\}\) |
| Onto (Surjective) | অন্টো (সারজেক্টিভ) | Range পুরো codomain জুড়ে; \(\operatorname{rank} = \dim W\) |
| Four Fundamental Subspaces | ফোর ফান্ডামেন্টাল সাবস্পেস | Row space, kernel, range, left null space — matrix-এর চার টুকরো |
| Left Null Space | লেফট নাল স্পেস | Codomain \(\mathbb{R}^m\)-এ range-এর বাইরে থাকা অংশ, dimension \(m - r\) |
| Special Solution | স্পেশাল সলিউশন | Free variable-প্রতি একটি kernel-basis solution vector |
Chapter 4.6 — Linear Map-এর Matrix¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Matrix of a Linear Map | ম্যাট্রিক্স অফ আ লিনিয়ার ম্যাপ | Basis-চুক্তিতে map-এর সংখ্যা-টেবিল \([L]^{B'}_B\), column \(j = [L(b_j)]_{B'}\) |
| Bridge Equation | ব্রিজ ইকুয়েশন | \([L(v)]_{B'} = [L]^{B'}_B\,[v]_B\) — abstract map \(=\) matrix গুণ |
| Column Rule | কলাম রুল | \(j\)-তম column \(= j\)-তম basis vector-এর image-এর output-ভাষার coordinates |
| Composition | কম্পোজিশন | পরপর দুই map চালানো; \([L_2 \circ L_1] = [L_2][L_1]\) — matrix গুণের জন্মরহস্য |
| Similar Matrices | সিমিলার ম্যাট্রিক্স | \(M' = P^{-1}MP\)-সম্পর্কিত matrix — একই map-এর ভিন্ন পোশাক |
| Diagonal Matrix | ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স | শুধু diagonal-এ entry থাকা matrix; চালাক basis-এ map এমন হয়ে সরল হয় |
| Invariant | ইনভ্যারিয়েন্ট | Basis বদলেও যা অটুট থাকে — rank, determinant, trace |
| Trace | ট্রেস | Diagonal entry-দের যোগফল; similar matrix-দের মধ্যে সমান থাকে |
| Eigenvector (preview) | আইগেনভেক্টর | Map-এর "নিজস্ব দিক" \(L(b_i) = \lambda_i b_i\); এই basis-এ matrix diagonal |
| Jacobian | জ্যাকোবিয়ান | Nonlinear map-এর প্রতি-মুহূর্তের সেরা linear approximation-এর matrix |
| Commutative Square | কম্যুটেটিভ স্কয়ার | দোতলা বাড়ির ছবি: যে পথেই যাও (map বা matrix), উত্তর এক |
Part V¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Orthogonal | অর্থোগোনাল / লম্ব | দুই vector-এর মধ্যে ৯০° কোণ: \(u^Tv = 0\) |
| Orthogonal Projection | অর্থোগোনাল প্রজেকশন | কোনো vector-এর "ছায়া" একটা লাইন/subspace-এর ওপর — সেখানকার সবচেয়ে কাছের বিন্দু |
| Projection formula | প্রজেকশনের সূত্র | লাইন \(a\)-এর ওপর \(b\)-এর ছায়া: \(\text{proj}_a(b) = \frac{a^Tb}{a^Ta}\,a\) |
| Residual | রেসিডুয়াল / অবশিষ্ট ভুল | মূল vector থেকে ছায়া বাদ দিলে যা থাকে: \(e = b - p\) — সবসময় লম্ব-জগতে |
| Orthogonality Principle | অর্থোগোনালিটি প্রিন্সিপল | "সবচেয়ে কাছের" মানেই residual লম্ব — best approximation-এর চেনার চিহ্ন |
| Idempotent | আইডেমপোটেন্ট | দুবার প্রয়োগ = একবার প্রয়োগ: \(P^2 = P\) (ছায়ার ছায়া = ছায়া) |
| Orthogonal Set | অর্থোগোনাল সেট | যে vector-দলের প্রত্যেক জোড়া পরস্পর লম্ব |
| Orthonormal Set | অর্থোনরমাল সেট | orthogonal + প্রত্যেকের দৈর্ঘ্য ১ — লম্ব ও মাপা |
| Orthonormal Basis | অর্থোনরমাল বেসিস | orthonormal vector দিয়ে গড়া basis — coordinate বের হয় শুধু dot product-এ |
| Gram–Schmidt Procedure | গ্রাম–শ্মিট প্রসিডিউর | সাধারণ basis-কে ধাপে ধাপে ছায়া-বাদ-দিয়ে orthonormal বানানোর অ্যালগরিদম |
| QR Decomposition | কিউ-আর ডিকম্পোজিশন | \(A = QR\): orthonormal-column \(Q\) আর upper triangular \(R\)-এ ভাঙন — Gram–Schmidt-এর হিসাবের খাতা |
| Orthogonal Matrix | অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স | square matrix যার column-রা orthonormal: \(Q^TQ = QQ^T = I\), তাই \(Q^{-1} = Q^T\) |
| Orthogonal Complement | অর্থোগোনাল কমপ্লিমেন্ট | \(S^\perp\) — subspace \(S\)-এর প্রতিটা vector-এর সাথে লম্ব সব vector-এর subspace |
| Direct Sum | ডাইরেক্ট সাম | \(V = S \oplus S^\perp\) — প্রতিটা vector-এর অনন্য ভাঙন "S-অংশ + লম্ব-অংশ" |
| Fundamental Theorem of Linear Algebra (FTLA) | লিনিয়ার অ্যালজেব্রার মৌলিক উপপাদ্য | চার fundamental subspace জোড়ায় জোড়ায় orthogonal complement: \(C(A^T) \perp N(A)\), \(C(A) \perp N(A^T)\) |
| Fredholm Alternative | ফ্রেডহোম অল্টারনেটিভ | \(Ax = b\) সমাধানযোগ্য \(\iff\) \(b \perp N(A^T)\) — solvability-র লম্বতা-পরীক্ষা |
| Least Squares Problem | লিস্ট স্কোয়ার্স প্রবলেম | সমাধানহীন \(Ax = b\)-তে ভুলের বর্গের যোগফল minimize: \(\min_x \|Ax - b\|^2\) |
| Least Squares Approximate Solution | লিস্ট স্কোয়ার্স আনুমানিক সমাধান | \(\hat{x}\) — যে মান ভুলটা সবচেয়ে ছোট করে (সাধারণত \(A\hat{x} \neq b\)!) |
| Tall Matrix | টল ম্যাট্রিক্স | সারি > column (\(m > n\)) — সমীকরণ বেশি, অজানা কম |
| Over-determined System | ওভার-ডিটারমাইন্ড সিস্টেম | অজানার চেয়ে সমীকরণ বেশি — প্রায় কখনোই exact সমাধান নেই |
| Normal Equations | নরমাল ইকুয়েশনস | least squares-এর সমাধান-সমীকরণ: \(A^TA\hat{x} = A^Tb\) — জন্ম residual-এর লম্বতা থেকে |
| Gram Matrix | গ্রাম ম্যাট্রিক্স | \(A^TA\) — column-দের পারস্পরিক dot product-এর টেবিল |
| Projection Matrix | প্রজেকশন ম্যাট্রিক্স | \(P = A(A^TA)^{-1}A^T\) — column space-এ ছায়া ফেলার মেশিন (\(P^2 = P\), \(P^T = P\)) |
| Pseudo-inverse | সিউডো-ইনভার্স | \(A^\dagger = (A^TA)^{-1}A^T\) — tall matrix-এর "inverse-এর বদলি"; \(\hat{x} = A^\dagger b\) |
| Weighted Least Squares | ওয়েটেড লিস্ট স্কোয়ার্স | measurement-ভেদে গুরুত্ব \(w_i\) দিয়ে minimize — সমাধান \((A^TWA)^{-1}A^TWb\) |
| Regression | রিগ্রেশন | data fitting-এর জগতে least squares-এর ডাকনাম — feature থেকে outcome অনুমান |
| Data Fitting | ডেটা ফিটিং | মাপা ডেটার সম্পর্ককে অল্প parameter-এর মডেল দিয়ে ধরা |
| Feature | ফিচার | যে রাশি(গুলো) আমরা জানি ও যা থেকে অনুমান করি — independent variable \(x\) |
| Outcome / Response Variable | আউটকাম / রেসপন্স | যে রাশি অনুমান করতে চাই — dependent variable \(y\) |
| Model / Predictor | মডেল / প্রেডিক্টর | অজানা সম্পর্ক \(f\)-এর আমাদের বানানো অনুমান \(\hat{f}\) |
| Prediction | প্রেডিকশন | মডেলের দেওয়া অনুমিত মান: \(\hat{y} = \hat{f}(x)\) |
| Basis Function | বেসিস ফাংশন | মডেলের building block \(f_j(x)\) — আমরা বেছে নিই (\(1, x, x^2, (x-a)_+, \dots\)) |
| Parameter | প্যারামিটার | মডেলের শেখা-হওয়া সহগ \(\theta_j\) — ডেটা থেকে least squares-এ নির্ধারিত |
| Linear in the Parameters | প্যারামিটারে লিনিয়ার | মডেল \(\theta\)-এর linear combination — \(x\)-এ nonlinear হলেও যন্ত্র সেই least squares |
| Design Matrix | ডিজাইন ম্যাট্রিক্স | \(A_{ij} = f_j(x^{(i)})\) — সারিতে ডেটা, column-এ basis function |
| Prediction Error | প্রেডিকশন এরর | আসল আর অনুমানের ফারাক: \(r^{(i)} = y^{(i)} - \hat{y}^{(i)}\) |
| RMS Error | আরএমএস এরর | ভুলের root-mean-square \(\sqrt{\frac{1}{N}\sum r_i^2}\) — "গড়ে কত ভুল" |
| Vandermonde Matrix | ভ্যান্ডারমন্ড ম্যাট্রিক্স | polynomial fit-এর design matrix — column-রা \(1, x, x^2, \dots\) ডেটায় মূল্যায়িত |
| Straight-line Fit | সরলরেখা ফিট | \(\hat{f}(x) = \theta_1 + \theta_2 x\) — ঢাল আসে correlation থেকে: \(\hat\theta_2 = \rho\,\mathrm{std}(y)/\mathrm{std}(x)\) |
| Polynomial Fit | পলিনোমিয়াল ফিট | basis \(1, x, \dots, x^{p-1}\) — degree বাড়ালে train error কমে, কিন্তু… |
| Piecewise-linear Fit | পিসওয়াইজ-লিনিয়ার ফিট | hinge function \((x - a)_+\) দিয়ে ভাঁজওয়ালা লাইন fit — knot-এ ঢাল বদলায় |
| Knot Point | নট পয়েন্ট | piecewise-linear মডেলে যেখানে ঢাল বদলানোর অনুমতি |
| Trend Line | ট্রেন্ড লাইন | time series-এ সময়ের বিপরীতে straight-line fit — ঢালটাই trend |
| Seasonal Component | সিজনাল কম্পোনেন্ট | নির্দিষ্ট পর্বে (যেমন ১২ মাসে) নিজেকে repeat করা অংশ — periodic basis দিয়ে fit |
| Auto-regressive (AR) Model | অটো-রিগ্রেসিভ মডেল | আগের \(M\)টা মান থেকে পরের মান অনুমান — time series-এর regression |
| Generalization | জেনারালাইজেশন | না-দেখা নতুন ডেটাতেও ভালো prediction করার ক্ষমতা — মডেলের আসল গুণ |
| Out-of-sample Validation | আউট-অব-স্যাম্পল ভ্যালিডেশন | শেখায় ব্যবহার-না-হওয়া ডেটায় মডেল যাচাই |
| Training Set | ট্রেনিং সেট | ডেটার যে অংশ (\(\sim 80\%\)) দিয়ে \(\hat\theta\) শেখা হয় |
| Test / Validation Set | টেস্ট / ভ্যালিডেশন সেট | লুকিয়ে-রাখা অংশ (\(\sim 20\%\)) — মডেলের সততা-পরীক্ষার প্রশ্নপত্র |
| Over-fitting | ওভার-ফিটিং | train error \(\ll\) test error — মডেল ধরন না শিখে noise মুখস্থ করেছে |
| Under-fitting | আন্ডার-ফিটিং | মডেল এত সরল যে ডেটার আসল ধরনটাই ধরতে পারে না — দুই error-ই বড় |
| Cross-validation | ক্রস-ভ্যালিডেশন | ডেটাকে \(k\) ভাঁজে ভাগ করে প্রতিবার এক ভাঁজ লুকিয়ে যাচাই, তারপর গড় |
| Feature Engineering | ফিচার ইঞ্জিনিয়ারিং | ভালো prediction-এর জন্য design matrix-এর নতুন column (নতুন feature) বানানোর শিল্প |
| Standardization (z-scoring) | স্ট্যান্ডার্ডাইজেশন | feature-কে \((x - b)/a\) রূপে গড় \(0\), std \(1\)-এ আনা — prediction বদলায় না, স্থিতি বাড়ে |
| Winsorizing | উইনসরাইজিং | চরম/সন্দেহজনক মানগুলোকে একটা থ্রেশহোল্ডে ছেঁটে দেওয়া |
| Log Transform | লগ ট্রান্সফর্ম | বিশাল রেঞ্জের positive মানকে \(\log x\) (বা \(\log(x+1)\))-এ সংকুচিত করা |
| One-hot Encoding | ওয়ান-হট এনকোডিং | \(l\)-মানের categorical feature-কে \(l-1\)টা \(0/1\) column-এ ভাঙা |
| Dummy Variable Trap | ডামি ভেরিয়েবল ট্র্যাপ | সব category-র column + constant রাখলে column-রা dependent — \(A^TA\) singular |
| Extrapolation | এক্সট্রাপোলেশন | ডেটার সীমার বাইরে prediction — সবসময় বাড়তি ঝুঁকির |
Part VI — Eigenvalues, Eigenvectors ও Decompositions¶
Chapter 6.1 — Determinant¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Determinant | নির্ণায়ক (ডিটারমিন্যান্ট) | Square matrix-এর একটাই সংখ্যা: রূপান্তরে area/volume কতগুণ হয় তার signed scale factor |
| Minor | মাইনর | \(i\)-নং row ও \(j\)-নং column কেটে ফেলার পর যে ছোট matrix থাকে, তার determinant (\(M_{ij}\)) |
| Cofactor | কোফ্যাক্টর | Minor-এর সাথে দাবার-বোর্ড চিহ্ন: \(C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\) |
| Cofactor Expansion | কোফ্যাক্টর এক্সপ্যানশন | যেকোনো row/column ধরে বড় determinant-কে ছোট determinant-এ ভাঙা: \(\det A = \sum_j a_{ij}C_{ij}\) |
| Singular Matrix | সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স | \(\det = 0\)-ওয়ালা matrix — জায়গা চ্যাপ্টা করে ফেলে, inverse নেই |
| Orientation Flip | ওরিয়েন্টেশন উল্টানো | \(\det < 0\)-এর মানে: রূপান্তরটা জায়গাকে আয়নার মতো উল্টে দিয়েছে |
| Product Rule (of det) | প্রোডাক্ট রুল | \(\det(AB) = \det A \cdot \det B\) — scale factor-রা গুণ হয় |
| Parallelepiped | প্যারালেলেপাইপড | তিন vector-এ গড়া হেলানো ইট — এর signed আয়তনই \(3\times3\) determinant |
| Jacobian | জ্যাকোবিয়ান | Calculus-এ variable বদলানোর সময় "স্থানীয় area/volume scale" মাপা determinant |
| Shoelace Formula | জুতার-ফিতা সূত্র | Polygon-এর কোণার স্থানাঙ্ক থেকে ক্ষেত্রফল — ভেতরে ভেতরে determinant-এরই হিসাব |
Chapter 6.2 — Eigenvalues ও Eigenvectors¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Eigenvector | আইগেনভেক্টর | যে nonzero vector matrix-এর ধাক্কায় দিক বদলায় না, শুধু scale হয়: \(Av = \lambda v\) |
| Eigenvalue | আইগেনভ্যালু | Eigenvector-টা কতগুণ লম্বা/খাটো হলো — সেই scale factor \(\lambda\) |
| Eigenspace | আইগেনস্পেস | একই \(\lambda\)-র সব eigenvector + শূন্য vector: \(E_\lambda = N(A - \lambda I)\), একটা subspace |
| Characteristic Polynomial | ক্যারেক্টারিস্টিক পলিনোমিয়াল | \(\det(A - \lambda I)\) — এর root-গুলোই eigenvalue |
| Trace | ট্রেস | Diagonal entry-দের যোগফল; সবসময় \(= \sum\lambda_i\) — হাতের হিসাবের ফ্রি চেক |
| Algebraic Multiplicity | অ্যালজেব্রেয়িক মাল্টিপ্লিসিটি | Characteristic polynomial-এ root \(\lambda\) কতবার এসেছে |
| Geometric Multiplicity | জিওমেট্রিক মাল্টিপ্লিসিটি | \(\dim E_\lambda\) — ওই \(\lambda\)-র কয়টা independent eigenvector আছে |
| Defective Matrix | ডিফেক্টিভ ম্যাট্রিক্স | Geometric < algebraic multiplicity — eigenvector ঘাটতিওয়ালা matrix (যেমন shear), diagonalize হয় না |
| Power Iteration | পাওয়ার ইটারেশন | বারবার \(A\) গুণ + normalize — সবচেয়ে বড় \(\vert \lambda\vert\)-র eigenvector-এ পৌঁছানোর algorithm (PageRank-এর প্রাণ) |
Chapter 6.3 — Diagonalization¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Diagonal Matrix | ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স | Diagonal-এর বাইরে সব শূন্য — যার power/inverse/সবকিছু entry ধরে ধরে হয় |
| Diagonalization | ডায়াগোনালাইজেশন | \(A = PDP^{-1}\) — eigenvector-চশমা পরলে matrix-টা নিছক diagonal সংখ্যার তালিকা |
| Diagonalizable | ডায়াগোনালাইজেবল | যে matrix-এর \(n\)টা independent eigenvector আছে — \(A = PDP^{-1}\) লেখা সম্ভব |
| Eigenbasis | আইগেনবেসিস | পুরো space-এর এমন basis যার প্রতিটা vector-ই \(A\)-র eigenvector |
| Similar Matrices | সিমিলার ম্যাট্রিসেস | \(B = P^{-1}AP\) — একই transformation, ভিন্ন চশমায়; eigenvalue-রা অভিন্ন |
| Markov Matrix | মার্কভ ম্যাট্রিক্স | প্রতি column-এর যোগফল \(1\), entry \(\geq 0\) — সম্ভাবনার প্রবাহ; \(\lambda = 1\) গ্যারান্টিড |
| Steady State | স্টেডি স্টেট | Markov chain-এ অনন্তকাল পরের স্থির বিন্যাস — \(\lambda = 1\)-এর eigenvector |
| Matrix Exponential | ম্যাট্রিক্স এক্সপোনেনশিয়াল | \(e^{At} = Pe^{\Lambda t}P^{-1}\) — differential equation system-এর সমাধান-যন্ত্র |
| Jordan Block | জর্ডান ব্লক | Defective matrix-দের জন্য diagonalization-এর "যতটুকু সম্ভব" সংস্করণের building block |
Chapter 6.4 — Symmetric Matrices ও Spectral Theorem¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Spectral Theorem | স্পেকট্রাল থিওরেম | Symmetric matrix মানেই: সব eigenvalue real, আর orthonormal eigenvector-এ \(A = Q\Lambda Q^T\) |
| Spectral Decomposition | স্পেকট্রাল ডিকম্পোজিশন | \(A = \sum\lambda_iq_iq_i^T\) — symmetric matrix-কে লম্ব rank-1 স্তরে ভাঙা |
| Orthogonal Diagonalization | অর্থোগোনাল ডায়াগোনালাইজেশন | \(P^{-1}\)-এর বদলে \(Q^T\) — rotation-চশমাতেই diagonalize করা (শুধু symmetric-এ সম্ভব) |
| Gram Matrix | গ্রাম ম্যাট্রিক্স | \(A^TA\) — সবসময় symmetric ও positive semidefinite; least squares থেকে SVD সবখানে হাজির |
| Covariance Matrix | কোভ্যারিয়ান্স ম্যাট্রিক্স | ডেটার ছড়ানো-জড়ানোর symmetric matrix — \((i,j)\) entry = feature \(i\) ও \(j\)-এর covariance |
| Adjacency Matrix | অ্যাডজেসেন্সি ম্যাট্রিক্স | Graph-এর সংযোগ-তালিকা matrix আকারে: \((i,j) = 1\) যদি \(i\)–\(j\) edge থাকে |
| Graph Laplacian | গ্রাফ লাপ্লাসিয়ান | \(L = D - A\) — network-এর "কম্পন-matrix"; eigenvalue-রা বলে দল কয়টা |
| Spectral Clustering | স্পেকট্রাল ক্লাস্টারিং | Laplacian-এর ছোট eigenvalue-র eigenvector দিয়ে network-এ community খুঁজে বের করা |
Chapter 6.5 — Positive Definite Matrices ও Quadratic Forms¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Quadratic Form | দ্বিঘাত রূপ (কোয়াড্রাটিক ফর্ম) | \(Q(x) = x^TAx\) — matrix দিয়ে লেখা দ্বিঘাত রাশি, যার landscape bowl/saddle/পাহাড় |
| Positive Definite | পজিটিভ ডেফিনিট | সব nonzero \(x\)-এ \(x^TAx > 0\) — নিখুঁত bowl; সব eigenvalue \(> 0\) |
| Positive Semidefinite | পজিটিভ সেমিডেফিনিট | \(x^TAx \geq 0\) — bowl, তবে কোনো দিকে চ্যাপ্টা মেঝে থাকতে পারে; eigenvalue \(\geq 0\) |
| Negative Definite | নেগেটিভ ডেফিনিট | সব দিকে \(x^TAx < 0\) — উল্টানো bowl (পাহাড়চূড়া); সব eigenvalue \(< 0\) |
| Indefinite | ইনডেফিনিট | কোনো দিকে ধনাত্মক, কোনো দিকে ঋণাত্মক — saddle (ঘোড়ার জিন); eigenvalue-দের sign মিশ্র |
| Leading Principal Minor | লিডিং প্রিন্সিপাল মাইনর | উপরের-বাঁ কোণার \(k\times k\) টুকরার determinant — সব \(> 0\) হলেই positive definite (Sylvester test) |
| Principal Axes Theorem | প্রিন্সিপাল অ্যাক্সেস থিওরেম | Eigenvector-অক্ষে গেলে quadratic form-এর cross term উধাও: \(Q = \sum\lambda_iy_i^2\) — ellipse-এর আসল অক্ষ |
| Hessian | হেসিয়ান | Function-এর দ্বিতীয় derivative-দের symmetric matrix — positive definite হলে সেই বিন্দু minimum |
| Convexity | উত্তলতা (কনভেক্সিটি) | Bowl-আকৃতির function — যার সব জায়গায় Hessian positive semidefinite; optimization-এর স্বর্গ |
| Condition Number | কন্ডিশন নাম্বার | \(\kappa = \sigma_{\max}/\sigma_{\min}\) — ellipse কত সরু / সমাধান সংখ্যাগতভাবে কত নড়বড়ে |
Chapter 6.6 — Singular Value Decomposition (SVD)¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Singular Value Decomposition (SVD) | সিঙ্গুলার ভ্যালু ডিকম্পোজিশন | \(A = U\Sigma V^T\) — যেকোনো matrix = rotation × stretch × rotation; কোনো শর্ত ছাড়াই |
| Singular Value | সিঙ্গুলার ভ্যালু | \(\sigma_i = \sqrt{\lambda_i(A^TA)}\) — অক্ষ ধরে stretch-এর পরিমাণ; সবসময় real ও \(\geq 0\), বড়→ছোট সাজানো |
| Right Singular Vector | রাইট সিঙ্গুলার ভেক্টর | \(V\)-এর column \(v_i\) — ইনপুট জগতের "সঠিক লম্ব অক্ষ" (\(A^TA\)-র eigenvector) |
| Left Singular Vector | লেফট সিঙ্গুলার ভেক্টর | \(U\)-এর column \(u_i\) — আউটপুট জগতের লম্ব অক্ষ: \(Av_i = \sigma_iu_i\) |
| Rank-1 Matrix | র্যাঙ্ক-ওয়ান ম্যাট্রিক্স | একটা column × একটা row (\(uv^T\)) — SVD-র একেকটা "স্তর" |
| Low-Rank Approximation | লো-র্যাঙ্ক অ্যাপ্রক্সিমেশন | \(A_k = \sum_{i\leq k}\sigma_iu_iv_i^T\) — ভারী \(k\)টা স্তর রেখে বাকি ছাঁটা; compression-এর ভিত্তি |
| Eckart–Young Theorem | একার্ট–ইয়াং থিওরেম | SVD-র truncation-ই প্রমাণিত সেরা rank-\(k\) approximation; error ঠিক \(\sigma_{k+1}\) |
| Frobenius Norm | ফ্রোবেনিয়াস নর্ম | সব entry-র বর্গযোগফলের বর্গমূল \(= \sqrt{\sum\sigma_i^2}\) — matrix-এর "মোট শক্তি" |
| Pseudoinverse | সিউডোইনভার্স | \(A^+ = V\Sigma^+U^T\) — singular/rectangular matrix-এর "যতটা সম্ভব inverse"; least squares-এর engine |
| Economy (Thin) SVD | ইকোনমি এসভিডি | শূন্য-\(\sigma\)-র অংশ বাদ দিয়ে ছোট \(U, \Sigma, V\) রাখা (full_matrices=False) — বড় ডেটার memory-বাঁচানো রূপ |
Chapter 6.7 — PCA¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Principal Component Analysis (PCA) | প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস | ডেটার সবচেয়ে ছড়ানো লম্ব দিকগুলো খুঁজে অল্প dimension-এ নামানো — covariance matrix-এর eigen/SVD-র প্রয়োগ |
| Principal Component | প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট | ডেটার \(i\)-তম সেরা দিক — covariance matrix-এর \(i\)-তম eigenvector (variance-ক্রমে) |
| Centering | সেন্টারিং | প্রতিটা feature থেকে তার গড় বিয়োগ — PCA-র বাধ্যতামূলক প্রথম ধাপ |
| Standardization | স্ট্যান্ডার্ডাইজেশন | গড় বিয়োগ + standard deviation দিয়ে ভাগ — ভিন্ন এককের feature-দের সমান মাঠে আনা |
| Explained Variance Ratio | এক্সপ্লেইন্ড ভ্যারিয়ান্স রেশিও | \(\lambda_i/\sum\lambda_j\) — \(i\)-নং component ডেটার মোট ছড়ানোর কত ভাগ ধরে |
| Scree Plot | স্ক্রি প্লট | Eigenvalue-দের বড়→ছোট গ্রাফ — "কনুই" দেখে কয়টা component রাখবে ঠিক করা |
| Rayleigh Quotient | রেলে কোশেন্ট | \(\frac{x^TAx}{x^Tx}\) — যা maximize করলে সবচেয়ে বড় eigenvalue-র দিক মেলে; PCA-র optimization-হৃদয় |
Part VII — Applied Linear Algebra: Data Science¶
Chapter 7.1 — Least Squares Classification¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Classification | ক্লাসিফিকেশন (শ্রেণিবিভাজন) | Output সংখ্যা নয়, কয়েকটা শ্রেণি/সিদ্ধান্ত: spam নাকি নয়, "৩" নাকি "৭" — feature থেকে label predict |
| Label | লেবেল | Categorical outcome \(y\) যা মাত্র কয়েকটা মান নেয়; classifier-এ \(\pm 1\) সংখ্যায় বদলানো হয় |
| Boolean Classification | বুলিয়ান ক্লাসিফিকেশন | দুই-শ্রেণির (binary) কেস: \(y \in \{-1, +1\}\), model \(\hat{f}:\mathbb{R}^n \to \{-1,+1\}\) |
| Least Squares Classifier | লিস্ট স্কোয়ার্স ক্লাসিফায়ার | \(\hat{f}(x) = \text{sign}(x^T\beta + v)\) — \(\pm 1\) label-এ regression চালিয়ে বানানো প্রথম ML classifier |
| Sign Function | সাইন ফাংশন | continuous স্কোরকে \(\pm 1\) সিদ্ধান্তে রূপ দেয়: \(\ge 0\) হলে \(+1\), নাহলে \(-1\) |
| Decision Boundary | ডিসিশন বাউন্ডারি | যেখানে সিদ্ধান্ত বদলায়: \(\{x : x^T\beta + v = 0\}\) — একটা hyperplane, normal \(\beta\) |
| Confusion Matrix | কনফিউশন ম্যাট্রিক্স | classifier-এর রিপোর্ট কার্ড: TP/FN/FP/TN — ৪ ঘরের টেবিল |
| Error Rate | এরর রেট | ভুল-classify হওয়া নমুনার অনুপাত: \((N_{fp} + N_{fn})/N\) |
| True Positive Rate (Recall) | ট্রু পজিটিভ রেট (রিকল) | আসল \(+1\)-দের কত ভাগ ধরা পড়ল: \(N_{tp}/(N_{tp}+N_{fn})\) |
| False Positive Rate | ফলস পজিটিভ রেট | আসল \(-1\)-দের কত ভাগ ভুলে \(+1\) বলা হলো: \(N_{fp}/(N_{fp}+N_{tn})\) |
| Decision Threshold | ডিসিশন থ্রেশহোল্ড | নিয়ম \(\text{sign}(\tilde{f}(x) - \alpha)\); \(\alpha\) সরালে boundary parallel সরে, TPR ও FPR-এর দর কষাকষি |
| One-vs-Others | ওয়ান-ভার্সাস-আদারস | \(K\)-শ্রেণির কৌশল: প্রতি শ্রেণির আলাদা স্কোর-মেশিন, রায় \(\hat{f}(x) = \operatorname{argmax}_k \tilde{f}_k(x)\) |
| Baseline Model | বেসলাইন মডেল | তুলনার ভিত্তিরেখা — এর চেয়ে খারাপ করলে বুঝবে গলদ আছে; least squares classifier ক্লাসিক baseline |
Chapter 7.2 — Regularized Least Squares¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Overfitting | ওভারফিটিং | Training-এ নিখুঁত কিন্তু বাস্তবে ধোঁকা — model noise-ও মুখস্থ করে ফেলে, সাধারণীকরণ করে না |
| Multi-objective (Bi-criterion) LS | মাল্টি-অবজেক্টিভ লিস্ট স্কোয়ার্স | দুটো লক্ষ্য একসাথে: \(\underset{x}{\min}\; J_1(x) + \lambda J_2(x)\) — রান্নায় স্বাদ বনাম স্বাস্থ্য |
| Weight \(\lambda\) | ওয়েট (ল্যাম্বডা) | দুই লক্ষ্যের আপেক্ষিক গুরুত্বের knob; ছোট = fit-কে পাত্তা, বড় = penalty-কে |
| Optimal Trade-off Curve | অপটিমাল ট্রেড-অফ কার্ভ | \(\lambda\) ঘোরালে \((J_1, J_2)\)-র যে বক্ররেখা — একটা কমাতে অন্যটা বাড়ে |
| Pareto Optimal | পারেটো অপটিমাল | trade-off curve-এর বিন্দু: \(J_1\) কমাতে চাইলে \(J_2\) বাড়াতেই হবে, বিনা মূল্যে উন্নতি অসম্ভব |
| Ridge Regression | রিজ রিগ্রেশন | \(\underset{x}{\min}\; \|Ax-b\|^2 + \lambda\|x\|^2\) — fit + "parameter ছোট রাখো" penalty |
| Tikhonov Regularization | টিখোনভ রেগুলারাইজেশন | Ridge-এরই আরেক নাম (\(\ell_2\)-regularized LS); ill-posed inverse problem-এ অপরিহার্য |
| Regularization Term (Penalty) | রেগুলারাইজেশন টার্ম | \(\lambda\|x\|^2\) পদ — model-এর জটিলতার ওপর জরিমানা বসায় |
| Regularization Parameter | রেগুলারাইজেশন প্যারামিটার | penalty-র ওজন \(\lambda\); এটাই তোমার প্রথম hyperparameter |
| Closed-form Solution | ক্লোজড-ফর্ম সলিউশন | Ridge-এর বন্ধ-রূপ: \(\hat{x}(\lambda) = (A^TA + \lambda I)^{-1}A^Tb\) — diagonal-এ পাহাড় (ridge) |
| Bias-Variance Trade-off | বায়াস-ভ্যারিয়েন্স ট্রেড-অফ | \(\lambda\) ছোট = low bias/high variance (over-fit), বড় = high bias/low variance (under-fit) |
| Regularization Path | রেগুলারাইজেশন পাথ | \(\lambda\)-র সাথে coefficient-দের শূন্যের দিকে সংকোচন-বক্ররেখা |
| Shrinkage | শ্রিংকেজ | Ridge coefficient-দের শূন্যের দিকে টানে (কিন্তু ঠিক শূন্য করে না) |
| Weight Decay | ওয়েট ডিকে | neural network training-এ loss-এ \(\lambda\|W\|^2\) যোগ — সেটাই এই ridge penalty |
| Multicollinearity | মাল্টিকলিনিয়ারিটি | দুই feature প্রায় একই তথ্য বহন করলে \(A^TA\) প্রায় singular; ridge এর ওষুধ |
Chapter 7.3 — Constrained Least Squares¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Constrained Least Squares | কনস্ট্রেইনড লিস্ট স্কোয়ার্স | \(\underset{x}{\min}\;\|Ax-b\|^2\) শর্তসাপেক্ষে \(Cx = d\) — কঠোর, অলঙ্ঘনীয় শর্ত |
| Equality Constraint | ইকুয়ালিটি কনস্ট্রেইন্ট | \(Cx = d\) সমতা-শর্ত; সমাধানকে একটা affine subspace-এ বেঁধে রাখে |
| Objective | অবজেক্টিভ | যা minimize করছি — এখানে fit-error \(\|Ax-b\|^2\) |
| Lagrange Multiplier | ল্যাগ্রাঞ্জ মাল্টিপ্লায়ার | নতুন ভেরিয়েবল \(z\) (প্রতি constraint-এ একটা) যা দিয়ে constraint-কে objective-এ মেশানো হয় |
| Lagrangian | ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান | যৌথ ফাংশন \(L(x,z) = \|Ax-b\|^2 + z^T(Cx-d)\) — constrained সমস্যাকে "মুক্ত" করে |
| KKT System | কে-কে-টি সিস্টেম | \(\begin{bmatrix}2A^TA & C^T\\ C & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2A^Tb\\ d\end{bmatrix}\) — এক বড় linear ব্যবস্থা, iteration নয় |
| Lagrange Condition | ল্যাগ্রাঞ্জ কন্ডিশন | Optimum-এ objective-এর gradient \(\parallel\) constraint normal — fig01-এর দুই সমান্তরাল তীর |
| Least Norm Problem | লিস্ট নর্ম প্রবলেম | \(\underset{x}{\min}\;\|x\|^2\) s.t. \(Cx = d\) — under-determined সমস্যার সবচেয়ে মিতব্যয়ী সমাধান |
| Least Norm Formula | লিস্ট নর্ম সূত্র | \(\hat{x} = C^T(CC^T)^{-1}d\) — origin থেকে constraint-এর লম্ব পাদবিন্দু |
| Shadow Price | শ্যাডো প্রাইস | Multiplier \(z_i\)-র অর্থনৈতিক মানে: constraint সামান্য শিথিল করলে objective কতটা ভালো হবে (প্রান্তিক মূল্য) |
| Spline Fitting | স্প্লাইন ফিটিং | টুকরো-টুকরো বহুপদীকে seam-এ মসৃণ (মান ও ঢাল মেলানো) জোড়া — constrained LS-এর ক্লাসিক প্রয়োগ |
| Minimum Energy Control | মিনিমাম এনার্জি কন্ট্রোল | লক্ষ্যে ঠিক পৌঁছানোর least-norm force — মৃদু, ছড়ানো ধাক্কা = কম জ্বালানি |
Chapter 7.4 — Clustering, Graphs ও PageRank¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Unsupervised Learning | আনসুপারভাইজড লার্নিং | label ছাড়াই শুধু data-র গঠন থেকে structure/দল খুঁজে বের করা |
| k-means Clustering | কে-মিনস ক্লাস্টারিং | label-বিহীন data-কে \(k\) দলে ভাগ করা, প্রতি দলের একটা প্রতিনিধি বেছে |
| Representative (Centroid) | রিপ্রেজেন্টেটিভ (সেন্ট্রয়েড) | প্রতি cluster-এর প্রতিনিধি \(z_j\) — সবসময় সেই দলের গড় (তাই k-means) |
| Clustering Objective | ক্লাস্টারিং অবজেক্টিভ | \(J^{clust} = \frac1N\sum_i\|x^{(i)} - z_{c_i}\|^2\) — প্রতিনিধি থেকে দূরত্ব-বর্গের গড় |
| Lloyd's Algorithm | লয়েডস অ্যালগরিদম | পালা করে assign (নিকটতমে বরাদ্দ) ও update (গড়ে সরানো) — প্রতি ধাপে \(J^{clust}\) কমে |
| Local Minimum | লোকাল মিনিমাম | k-means সবসময় সেরা (global) নয়; খারাপ random init-এ খারাপ জায়গায় আটকায় |
| Graph | গ্রাফ | node (বিন্দু) আর edge (সংযোগ) — বন্ধুত্ব-network, রাস্তা, web-link সব এতে ধরা |
| Adjacency Matrix | অ্যাডজেসেন্সি ম্যাট্রিক্স | \(A_{ij} = 1\) যদি node \(i\)–\(j\)-এ edge থাকে; undirected হলে symmetric |
| Degree Matrix | ডিগ্রি ম্যাট্রিক্স | Diagonal matrix \(D\), \(D_{ii} =\) node \(i\)-র degree (কয়টা edge লাগানো) |
| Graph Laplacian | গ্রাফ ল্যাপ্লাসিয়ান | \(L = D - A\) — row sum \(0\), PSD; \(f^TLf = \sum_{(i,j)}(f_i-f_j)^2\) "পার্থক্যের শক্তি" |
| Connected Component | কানেক্টেড কম্পোনেন্ট | graph-এর এক-একটা বিচ্ছিন্ন টুকরো; \(L\)-এর zero eigenvalue-র সংখ্যা = component-সংখ্যা |
| Spectral Clustering | স্পেকট্রাল ক্লাস্টারিং | Laplacian-এর eigenvector দিয়ে ক্লাস্টারিং — নন-গোলাকার দলও খুঁজতে পারে |
| PageRank | পেজর্যাঙ্ক | web-কে Markov matrix ভেবে power iteration-এ গুরুত্ব-eigenvector: \(Gr = r\) — Google-এর জন্ম |
| Power Iteration | পাওয়ার ইটারেশন | বারবার \(r \leftarrow Gr\) — dominant eigenvector-এ পৌঁছানোর algorithm, গোটা matrix invert না করেই |
| Google Matrix | গুগল ম্যাট্রিক্স | \(G = \alpha M + \frac{1-\alpha}{N}\mathbf{1}\mathbf{1}^T\) — link matrix + teleport; সব entry \(>0\) |
Chapter 7.5 — Markov Matrices¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Markov Matrix (Stochastic) | মার্কভ ম্যাট্রিক্স (স্টোক্যাস্টিক) | entry \(\geq 0\) আর প্রতি column-এর যোগফল \(1\); \(P_{ij} =\) অবস্থা \(j \to i\)-এর সম্ভাবনা |
| Probability Vector | প্রবাবিলিটি ভেক্টর | entry \(\geq 0\), যোগফল \(1\) — বর্তমান অবস্থার সম্ভাবনা-বণ্টন |
| Markov Chain | মার্কভ চেইন | বিবর্তন \(p_{k+1} = Pp_k\) — "আজকের অবস্থা → কালকের সম্ভাবনা" নিয়মের শৃঙ্খল |
| Steady State (Stationary) | স্টেডি স্টেট (স্টেশনারি) | যে বণ্টন আর বদলায় না: \(P\pi = \pi\) — eigenvalue-\(1\) eigenvector, "দীর্ঘকালীন জলবায়ু" |
| Perron-Frobenius | পেরন-ফ্রোবেনিয়াস | সব entry ধনাত্মক matrix-এ একটাই ধনাত্মক dominant eigenvector নিশ্চিত করে (steady state-এর গ্যারান্টি) |
| Second Eigenvalue \(\lambda_2\) | সেকেন্ড আইগেনভ্যালু | দ্বিতীয় বৃহত্তম \(\vert \lambda_2\vert\) — convergence-এর গতি ঠিক করে: \(\|p_k - \pi\| \approx \vert \lambda_2\vert ^k\) |
| Mixing (Mixing Time) | মিক্সিং (মিক্সিং টাইম) | প্রাথমিক অবস্থার স্মৃতি কত দ্রুত মরে; \(\vert \lambda_2\vert\) ছোট = দ্রুত mixing |
| Dynamic Equilibrium | ডায়নামিক ইকুইলিব্রিয়াম | steady state-এ অবস্থা বদলাতেই থাকে, শুধু বণ্টন স্থির — রেস্তোরাঁয় লোক ঢোকে-বেরোয়, সংখ্যা স্থির |
| Matrix Exponential | ম্যাট্রিক্স এক্সপোনেনশিয়াল | \(e^{At} = \sum_k \frac{(At)^k}{k!}\) — discrete power \(P^k\)-এর অবিচ্ছিন্ন যমজ |
| Continuous-time Dynamics | কন্টিনিউয়াস-টাইম ডায়নামিক্স | \(\dot{x} = Ax\)-এর সমাধান \(x(t) = e^{At}x_0\); সময় discrete না হয়ে মসৃণ প্রবাহ |
| Eigenvalue → Decay/Rotation | আইগেনভ্যালু-নিয়ম | \(A\)-র eigenvalue \(\lambda\) হলে \(e^{At}\)-র eigenvalue \(e^{\lambda t}\): Re → decay/grow, Im → rotation |
| Spiral | স্পাইরাল | complex eigenvalue \(a \pm bi\): বাস্তব অংশ সংকোচন + কাল্পনিক অংশ ঘূর্ণন = origin-মুখী কুণ্ডলী |
| Dangling Node / Spider Trap | ড্যাংলিং নোড / স্পাইডার ট্র্যাপ | outgoing link-হীন বা বেরোনো-অসম্ভব node — teleport term ছাড়া PageRank বিকৃত করে |
Part VIII — Computational Linear Algebra¶
Chapter 8.1 — Floating Point ও Conditioning¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Floating Point | ফ্লোটিং পয়েন্ট | কম্পিউটারের ভাসমান-দশমিক সংখ্যা-ব্যবস্থা: \(\pm(1.b_1\ldots b_{52})_2 \times 2^e\) — সসীম ঘরে বিশাল range |
| IEEE 754 Double Precision | ডাবল প্রিসিশন | ৬৪-bit standard (Python-এর float): ১ sign + ১১ exponent + ৫২ mantissa bit |
| Mantissa (Significand) | ম্যান্টিসা | সংখ্যার "অঙ্কগুলো" binary-তে — ৫২ bit, সামনের \(1.\) ফ্রি |
| Machine Epsilon | মেশিন এপসাইলন | \(\varepsilon_{\text{mach}} = 2^{-52} \approx 2.2\times10^{-16}\) — \(1\)-এর পরের representable সংখ্যার দূরত্ব; ১৬-digit সততা |
| Rounding Error | রাউন্ডিং এরর | প্রতিটা operation-এ \(\text{fl}(x) = x(1+\delta)\), \(\vert \delta\vert \le \tfrac12\varepsilon_{\text{mach}}\) — কাছের দাগে গোল করার অনিবার্য ভুল |
| Condition Number | কন্ডিশন নাম্বার | \(\kappa(A) = \sigma_1/\sigma_n \ge 1\) — সমস্যা নিজে কতটা স্পর্শকাতর: input-এর ছোট নাড়া output-এ কত বড় নাড়া আনে |
| Conditioning | কন্ডিশনিং | সমস্যার অন্তর্নিহিত রোগ — ভালো (well) বনাম খারাপ (ill) conditioned; algorithm বদলে সারে না |
| Catastrophic Cancellation | ক্যাটাস্ট্রফিক ক্যানসেলেশন | প্রায়-সমান দুই সংখ্যার বিয়োগে সামনের digit কেটে গিয়ে আপেক্ষিক ভুল \(10^{-16}\) থেকে \(\sim1\)-এ লাফ |
| Stability | স্ট্যাবিলিটি | algorithm-এর সততা — "algorithm-এর দোষ", conditioning-এর ("সমস্যার দোষ") থেকে আলাদা |
| Backward Stability | ব্যাকওয়ার্ড স্টেবিলিটি | computed উত্তর = একটু-নাড়ানো প্রশ্নের নিখুঁত উত্তর; তখন rel. error \(\lesssim \kappa(A)\varepsilon_{\text{mach}}\) |
| Overflow / Underflow | ওভারফ্লো / আন্ডারফ্লো | সংখ্যা range-এর বাইরে (\(\infty\)/NaN) বা এত ছোট যে \(0\) হয়ে যায় — softmax-এ \(e^{1000}\), log-এ \(\log 0\) |
Chapter 8.2 — Ax=b বাস্তবে¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Factorization | ফ্যাক্টরাইজেশন | matrix-কে একবার সহজ টুকরোয় ভাঙা ("চাবি বানানো"), তারপর বহু \(b\)-তে সস্তায় reuse |
| LU Decomposition | এলইউ ডিকম্পোজিশন | \(PA = LU\) — Gaussian elimination-এর ডায়েরি; general square, খরচ \(\sim\frac23 n^3\) |
| Cholesky Decomposition | কোলেস্কি ডিকম্পোজিশন | \(A = LL^T\) — শুধু SPD matrix-এ, LU-এর অর্ধেক খরচ (\(\sim\frac13 n^3\)); ভেঙে পড়াই দ্রুততম SPD-পরীক্ষা |
| QR Decomposition | কিউআর ডিকম্পোজিশন | \(A = QR\) (\(Q\) orthonormal, \(R\) upper triangular) — least squares-এর নিরাপদ পথ, খরচ \(\sim 2mn^2\) |
| Permutation Matrix | পারমিউটেশন ম্যাট্রিক্স | \(P\) — শুধু row অদল-বদল করে; pivoting-এর হিসাব রাখে (\(PA = LU\)-তে) |
| Partial Pivoting | পারশিয়াল পিভটিং | প্রতি ধাপে column-এর সবচেয়ে বড় সংখ্যাকে pivot বানানো — stability, আর কখনো অস্তিত্বের জন্যও লাগে |
| Forward Substitution | ফরওয়ার্ড সাবস্টিটিউশন | Lower triangular \(Lc = b\) ওপর থেকে নিচে সমাধান — খরচ মাত্র \(\sim n^2\) |
| Back Substitution | ব্যাক সাবস্টিটিউশন | Upper triangular \(Ux = c\) নিচ থেকে ওপরে সমাধান — খরচ মাত্র \(\sim n^2\) |
| Complexity | কমপ্লেক্সিটি | বৃদ্ধির হার, ধ্রুবক নয়: \(O(n^3)\) মানে \(n\) দ্বিগুণ হলে খরচ আট গুণ |
| FLOP | ফ্লপ | floating point operation-এর গোনা — algorithm-এর খরচের একক |
| Sparse Matrix | স্পার্স ম্যাট্রিক্স | বেশিরভাগ ঘর শূন্য — খরচ nonzero সংখ্যা ও কাঠামোর ওপর নির্ভর, \(n\)-এর নয় |
| Fill-in | ফিল-ইন | factorization-এ আগের শূন্য ঘরগুলো nonzero হয়ে ওঠা — ভালো ordering দিয়ে কমানো যায় |
| Iterative Method (CG) | ইটারেটিভ মেথড | \(A\) factor না করে বারবার matrix-vector গুণে সমাধান; SPD-তে Conjugate Gradient — বিশাল sparse-এ একমাত্র উপায় |
Chapter 8.3 — Eigenvalue Algorithms¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Power Method | পাওয়ার মেথড | \(x_{k+1} = Ax_k/\|Ax_k\|\) — বারবার গুণ + normalize → dominant eigenvector (PageRank-এর প্রাণ) |
| Dominant Eigenvalue | ডমিন্যান্ট আইগেনভ্যালু | সবচেয়ে বড় মানের \(\lambda_1\) (\(\vert \lambda_1\vert > \vert \lambda_2\vert\)) — power method যেটার eigenvector ধরে |
| Convergence Rate | কনভার্জেন্স রেট | power method-এর গতি \(\propto \vert \lambda_2/\lambda_1\vert\) — eigenvalue-দের gap বড় = দ্রুত, ছোট = স্থবির |
| Rayleigh Quotient | রেইলি কোশেন্ট | \(R(x) = \frac{x^TAx}{x^Tx}\) — eigenvalue-র সেরা অনুমান; symmetric-এ ভুল \(O(\epsilon^2)\), দ্বিগুণ নির্ভুল |
| Inverse Iteration | ইনভার্স ইটারেশন | \(A^{-1}\)-এ power method → সবচেয়ে ছোট eigenvalue (matrix উল্টাও — factor করে, invert নয়) |
| Shifted Inverse Iteration | শিফটেড ইনভার্স ইটারেশন | \((A-\mu I)^{-1}\)-এ power method → \(\mu\)-এর নিকটতম eigenvalue; ভালো shift = কৃত্রিম বিশাল gap = টার্বো |
| Shift | শিফট | \(\mu\) — target eigenvalue-র কাছাকাছি আন্দাজ; \(\lambda_i - \mu\) ছোট করে convergence দ্রুত করে |
| QR Algorithm | কিউআর অ্যালগরিদম | \(A_k = Q_kR_k \to A_{k+1} = R_kQ_k\) বারবার — matrix triangular হয়, diagonal-এ সব eigenvalue |
| Similarity Transformation | সিমিলারিটি ট্রান্সফরমেশন | \(A_{k+1} = Q_k^{-1}A_kQ_k\) — basis ঘোরায়, eigenvalue অপরিবর্তিত রাখে (QR algorithm-এর ভিত্তি) |
| Wilkinson's Shock | উইলকিনসনের ধাক্কা | polynomial-এর মূল coefficient-এর প্রতি ভয়ংকর সংবেদনশীল — তাই \(\det(A-\lambda I)=0\)-এর মূল খোঁজা নিষিদ্ধ |
| Abel–Ruffini Theorem | আবেল–রুফিনি থিওরেম | degree \(\ge 5\) polynomial-এর মূল বের করার সাধারণ সূত্র নেই — তাই eigenvalue algorithm অবশ্যই iterative |
| Real Schur Form | রিয়েল শুর ফর্ম | non-symmetric matrix-এ QR-এর ফল: quasi-triangular — \(2\times2\) block-এ complex conjugate eigenvalue জোড়া |
Chapter 8.4 — Randomized Methods¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Sketching | স্কেচিং | বিশাল matrix-কে random matrix দিয়ে গুণ করে ছোট করা, তবু জ্যামিতি বজায় (exit poll-এর মতো নমুনা) |
| Random Projection | র্যান্ডম প্রজেকশন | \(Y = A\Omega\) — \(A\)-কে \(k\)টা "random প্রশ্ন" করে column space-এর নমুনা তোলা |
| Randomized SVD | র্যান্ডমাইজড এসভিডি | চার ধাপ (Halko–Martinsson–Tropp): sketch → orthonormalize (\(QR\)) → compress (\(B=Q^TA\)) → tiny SVD |
| Low-Rank Structure | লো-র্যাঙ্ক কাঠামো | matrix-এর আসল তথ্য কয়েকটা দিকে জমা, বাকিটা noise — randomized SVD-র সাফল্যের পূর্বশর্ত |
| Johnson–Lindenstrauss Lemma | জনসন–লিন্ডেনস্ট্রাস লেমা | random projection দূরত্ব \((1\pm\epsilon)\)-এ রক্ষা করে; target মাত্রা \(k = O(\epsilon^{-2}\log N)\) — \(n\)-নিরপেক্ষ |
| Oversampling | ওভারস্যাম্পলিং | \(k\)-এর বদলে \(k+p\) column (\(p\approx5\)–\(10\)) — প্রায়-বিনামূল্যের বীমা, নির্ভুলতা নাটকীয়ভাবে বাড়ায় |
| Power Iteration (\(q\)) | পাওয়ার ইটারেশন | \(Y = (AA^T)^qA\Omega\) — \(\sigma_i \to \sigma_i^{2q+1}\), singular value ধীরে কমলে sketch তীক্ষ্ণ করে |
| Eckart–Young (bound) | একার্ট–ইয়াং | সেরা rank-\(k\) approximation-এর ভুল \(\sigma_{k+1}\) — randomized SVD এর খুব কাছে (near-optimal) |
| Singular Value Decay | সিঙ্গুলার ভ্যালু ডিকে | singular value কত দ্রুত পড়ে — দ্রুত পতন = randomized SVD-র স্বর্গ, ধীর পতন = সাবধান |
| Concentration of Measure | কনসেনট্রেশন অফ মেজার | high dimension-এ random বস্তু প্রায় নিশ্চিতভাবে "সাধারণ" আচরণ করে — কেন randomness এখানে বন্ধু |
| Random Features | র্যান্ডম ফিচারস | বিশাল kernel matrix না বানিয়ে random projection দিয়ে তার প্রায়-প্রতিরূপ (SVM, GP বড় data-তে) |
| Streaming / One-pass | স্ট্রিমিং | data একবারই দেখা যায় এমন ক্ষেত্রে sketching দিয়ে চলতি-চলতি summary — full matrix memory-তে না রেখেই |
Part IX — PhD-Level Theory¶
Chapter 9.1 — Fields ও Abstract Vector Spaces¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Field | ফিল্ড | এমন সংখ্যা-জগৎ যেখানে যোগ, বিয়োগ, গুণ ও (শূন্য ছাড়া) ভাগ চারটাই নির্বিঘ্নে চলে — যেমন \(\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\) |
| \(\mathbb{F}_2\) (GF(2)) | এফ-টু (গ্যালোয়া ফিল্ড) | সবচেয়ে ছোট field \(\{0,1\}\): যোগ = XOR, গুণ = AND, আর \(1+1=0\) |
| Algebraically Closed | অ্যালজেব্রেয়িক্যালি ক্লোজড | যে field-এ প্রতিটা nonconstant polynomial-এর root আছে — \(\mathbb{C}\) এমন, \(\mathbb{R}\) না |
| Fundamental Theorem of Algebra | ফান্ডামেন্টাল থিওরেম অভ অ্যালজেব্রা | complex coefficient-এর প্রতিটা polynomial-এর \(\mathbb{C}\)-তে অন্তত একটা root আছে |
| Abstract Vector Space | বিমূর্ত ভেক্টর স্পেস | field \(F\)-এর ওপর ৮টা axiom + closure মানা যেকোনো সেট — vector-এর চেহারা লাগে না, শুধু আচরণ |
| Vector Space Axioms | ভেক্টর স্পেস অ্যাক্সিওম | commutativity, associativity, zero, inverse, \(1v=v\), distributivity — মোট ৮টা নিয়ম |
| Closure | ক্লোজার | \(u+v\) আর \(cv\) দুটোই আবার \(V\)-এর ভেতরেই থাকতে হবে — বেরিয়ে গেলে খেলা শেষ |
| Polynomial Space \(P_n(F)\) | পলিনোমিয়াল স্পেস | degree সর্বোচ্চ \(n\)-এর polynomial-দের vector space; basis \(\{1, x, \dots, x^n\}\) |
| Function Space | ফাংশন স্পেস | সব function-এর সেট (pointwise যোগ ও scalar গুণ) — curve-রাও vector! |
| Infinite-Dimensional | ইনফিনিট-ডাইমেনশনাল | যে space-কে কোনো finite set span করতে পারে না, যেমন \(P(F)\) (সব polynomial) |
| Subspace | সাবস্পেস | \(V\)-এর এমন উপসেট যা নিজেই vector space: \(0 \in U\) আর যোগ/scalar গুণে বন্ধ |
| Bitwise XOR | বিটওয়াইজ এক্সঅর | \(\mathbb{F}_2^n\)-এ vector যোগ: bit-ধরে exclusive-or, আর \(v + v = 0\) |
Chapter 9.2 — Jordan Canonical Form¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Jordan Canonical Form (JCF) | জর্ডান ক্যানোনিকাল ফর্ম | \(\mathbb{C}\)-এর ওপর যেকোনো matrix-এর "প্রায়-diagonal" রূপ: \(P^{-1}AP = J\) |
| Jordan Block \(J_m(\lambda)\) | জর্ডান ব্লক | diagonal-এ \(\lambda\), superdiagonal-এ সব \(1\) — একটা chain-এর matrix-চেহারা |
| Generalized Eigenvector | জেনারালাইজড আইগেনভেক্টর | যে \(v \neq 0\)-এর জন্য কোনো \(k\)-তে \((A-\lambda I)^k v = 0\) — eigenvector-এর ঘাটতি পূরণ করে |
| Jordan Chain | জর্ডান চেইন | \(v_m \mapsto \cdots \mapsto v_1 \mapsto 0\) মই: \(N = A-\lambda I\) প্রতি ধাপে এক নিচে নামায় |
| Nilpotent | নিলপোটেন্ট | যে matrix-এর জন্য \(N^m = 0\) — একমাত্র eigenvalue \(0\), Jordan তত্ত্বের ইঞ্জিন |
| Index of Nilpotency | নিলপোটেন্সির ইনডেক্স | ক্ষুদ্রতম \(m\) যাতে \(N^m = 0\) — সবচেয়ে লম্বা chain-এর দৈর্ঘ্য |
| Superdiagonal | সুপারডায়াগোনাল | diagonal-এর ঠিক ওপরের কোণাকুণি লাইন — Jordan block-এ যেখানে \(1\)-রা বসে |
| Null Space Staircase | নাল স্পেস সিঁড়ি | \(\dim N((A-\lambda I)^k)\)-এর ক্রমবর্ধমান তালিকা — matrix-এর কঙ্কালের এক্স-রে |
| Generalized Eigenspace \(G_\lambda\) | জেনারালাইজড আইগেনস্পেস | সব generalized eigenvector-এর space; \(\dim G_\lambda =\) algebraic multiplicity |
| Transient Growth | ট্রানজিয়েন্ট গ্রোথ | \(\vert \lambda\vert <1\) হয়েও norm আগে ফুলে তারপর নামা — \(J^k\)-এর \(k\lambda^{k-1}\) ফ্যাক্টরের দান |
| Critically Damped Oscillator | ক্রিটিক্যালি ড্যাম্পড অসিলেটর | দোলা না দিয়ে দ্রুততম থামা system — matrix defective, সমাধানে \(te^{\lambda t}\) |
| Matrix Exponential \(e^{Jt}\) | ম্যাট্রিক্স এক্সপোনেনশিয়াল | \(u'=Ju\)-এর সমাধান-যন্ত্র; Jordan block-এ জন্ম নেয় \(te^{\lambda t}\) term |
Chapter 9.3 — Matrix Norms ও Perturbation¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Matrix Norm | ম্যাট্রিক্স নর্ম | গোটা matrix-এর "সাইজ" মাপার ফিতা — positivity, scaling, triangle inequality মানে |
| Frobenius Norm | ফ্রোবেনিয়াস নর্ম | সব entry-র বর্গযোগফলের মূল \(= \sqrt{\sum\sigma_i^2}\) — matrix-এর মিলিত শক্তি |
| Operator (Induced) Norm | অপারেটর নর্ম | \(\|A\| = \max_{v\neq0}\frac{\|Av\|}{\|v\|}\) — সর্বোচ্চ stretch factor |
| Spectral Norm \(\|A\|_2\) | স্পেকট্রাল নর্ম | 2-norm থেকে আরোপিত operator norm \(= \sigma_1\) (বৃহত্তম singular value) |
| Submultiplicativity | সাবমাল্টিপ্লিকেটিভিটি | \(\|AB\| \le \|A\|\|B\|\) — দুই ধাপে stretch, মুনাফা গুণ হয় |
| Condition Number \(\kappa(A)\) | কন্ডিশন নাম্বার | \(\|A\|\|A^{-1}\| = \sigma_1/\sigma_n\) — \(Ax=b\)-তে ভুল কত গুণ ফুলে ওঠে তার amplifier |
| Spectral Radius \(\rho(A)\) | স্পেকট্রাল রেডিয়াস | \(\max_i\vert \lambda_i\vert\) — eigenvalue-দের সর্বোচ্চ absolute value; \(\rho \le \|A\|\) কিন্তু নিজে norm না |
| Weyl's Inequality | ভাইলের অসমতা | symmetric matrix-এর eigenvalue-সরণ \(\le \|E\|_2\) — noise-এর মুখে পাথরের মতো stable |
| Courant–Fischer Min-Max | কুরান্ট-ফিশার মিন-ম্যাক্স | \(\lambda_k = \max_{\dim S=k}\min_{v\in S}v^TAv\) — মাঝের eigenvalue ধরার subspace-ফাঁদ |
| Bauer–Fike Theorem | বাউয়ার-ফিকে উপপাদ্য | diagonalizable \(A\)-তে eigenvalue-সরণ \(\le \kappa(P)\|E\|_2\) — দায় eigenvector matrix-এর ওপর |
| Lipschitz Constant | লিপশিৎস ধ্রুবক | linear layer-এর operator norm — input-এ \(\delta\) নড়লে output নড়ে বড়জোর \(\|W\|_2\delta\) |
| Ill-Conditioned | ইল-কন্ডিশন্ড | বড় \(\kappa\)-ওয়ালা system — সমীকরণগুলো "প্রায় সমান্তরাল", ভুল লাফিয়ে বাড়ে |
Chapter 9.4 — Matrix Calculus¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Gradient \(\nabla f\) | গ্রেডিয়েন্ট | \(f\)-এর best linear approximation-এর coefficient vector; সবচেয়ে খাড়া ওঠার দিক |
| Directional Derivative | ডিরেকশনাল ডেরিভেটিভ | কোনো unit দিক \(u\)-তে ঢাল \(= \nabla f^T u\) — Cauchy–Schwarz-এ max হয় \(\nabla f\)-দিকে |
| Jacobian | জ্যাকোবিয়ান | vector→vector map-এর local matrix: \(J_{ij} = \partial F_i/\partial x_j\) |
| Hessian | হেসিয়ান | gradient-এর Jacobian, \(H_{ij} = \partial^2 f/\partial x_i\partial x_j\) — সবসময় symmetric |
| Chain Rule | চেইন রুল | \(J_{f\circ g} = J_f\,J_g\) — "composition = গুণ"-এর ক্যালকুলাস সংস্করণ |
| Layout Convention | লেআউট কনভেনশন | gradient column না row লেখার নিয়ম; এই বইয়ে gradient-এর shape = variable-এর shape |
| Normal Equations | নরমাল ইকুয়েশন | \(A^TAx = A^Tb\) — least squares-এর gradient শূন্য বসানোর ফল |
| Backpropagation | ব্যাকপ্রোপাগেশন | reverse-mode chain rule — error পেছনে transpose-এর সিঁড়ি বেয়ে নামে |
| Vector-Jacobian Product | ভেক্টর-জ্যাকোবিয়ান প্রোডাক্ট | \(J^Tv\) — পুরো Jacobian না বানিয়ে শুধু এটাই হিসাব করা reverse-mode-এর মূলমন্ত্র |
| Autograd | অটোগ্র্যাড | PyTorch/JAX-এর reverse-mode chain rule-এর স্বয়ংক্রিয় রূপ; loss.backward() |
| Outer Product | আউটার প্রোডাক্ট | \(uv^T\) — backprop-এ weight-gradient "error × input"-এর ছন্দে জন্মায় |
| Central Difference | সেন্ট্রাল ডিফারেন্স | \(\frac{f(x+he_i)-f(x-he_i)}{2h}\) — analytic gradient যাচাইয়ের \(O(h^2)\) অস্ত্র |
Chapter 9.5 — Random Matrix Theory¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Random Matrix Theory (RMT) | র্যান্ডম ম্যাট্রিক্স থিওরি | এলোমেলো entry-ওয়ালা বিশাল matrix-এর eigenvalue-ভিড়ের গণিত — CLT-র matrix-ভাই |
| Wigner Matrix | উইগনার ম্যাট্রিক্স | symmetric, iid (mean \(0\), var \(1\)) entry, \(1/\sqrt{n}\)-scaled random matrix |
| Semicircle Law | সেমিসার্কেল ল | Wigner eigenvalue-histogram \(\to \rho(x)=\frac{1}{2\pi}\sqrt{4-x^2}\), \([-2,2]\)-এ অর্ধবৃত্ত |
| Empirical Spectral Distribution | এমপিরিক্যাল স্পেকট্রাল ডিস্ট্রিবিউশন | একটা matrix-এর eigenvalue-দের histogram-এর আনুষ্ঠানিক নাম |
| Universality | ইউনিভার্সালিটি | entry-র খুঁটিনাটি (Gaussian/coin/uniform) নিরপেক্ষে একই limiting আকৃতি |
| Catalan Number \(C_k\) | কাতালান নাম্বার | \(\frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}\) — semicircle-এর even moment, moment-method-এর tree-গোনা |
| Moment Method | মোমেন্ট মেথড | \(\frac{1}{n}\operatorname{tr}(W^k)\) = histogram-এর \(k\)-তম moment — trace-সেতু দিয়ে প্রমাণ |
| Marchenko–Pastur Law | মার্চেঙ্কো–পাস্তুর ল | pure-noise sample covariance-এর eigenvalue-density; edge \(\lambda_\pm=(1\pm\sqrt\gamma)^2\) |
| Aspect Ratio \(\gamma\) | অ্যাসপেক্ট রেশিও | \(p/n\) (feature ÷ sample) — RMT-র সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ নব |
| Spiked Model | স্পাইকড মডেল | \(\Sigma = I + \theta\,uu^T\) — noise-এর ভেতরে একটা আসল সংকেত-দিক লুকানো |
| BBP Transition | বিবিপি ট্রানজিশন | \(\theta > \sqrt\gamma\) হলে spike bulk-এর বাইরে (ধরা যায়), নয়তো চিরতরে অদৃশ্য |
| Phase Transition | ফেজ ট্রানজিশন | \(\theta\)-নব \(\sqrt\gamma\) পার হওয়ামাত্র আচরণের আকস্মিক বদল — বরফ গলার মতো |
Chapter 9.6 — Tensor Decompositions¶
| English Term | বাংলা | এক লাইনে অর্থ |
|---|---|---|
| Tensor | টেনসর | order-\(N\) multi-way array \(t_{i_1\dots i_N}\) — matrix-এর বহু-index সাধারণীকরণ (ঘনক) |
| Order | অর্ডার | tensor-এর index/mode-সংখ্যা: scalar \(0\), vector \(1\), matrix \(2\), ঘনক \(3\) |
| Mode | মোড | tensor-এর প্রতিটা দিক/index — 3-way tensor-এর mode-1/2/3 |
| Fiber | ফাইবার | একটা index ছাড়া বাকি সব স্থির রেখে পাওয়া vector — column/row-এর সাধারণীকরণ |
| Slice | স্লাইস | ঠিক একটা index স্থির রেখে পাওয়া matrix (যেমন frontal slice \(T_{::k}\)) |
| Rank-1 Tensor | র্যাঙ্ক-ওয়ান টেনসর | \(a\circ b\circ c\), \(t_{ijk}=a_ib_jc_k\) — outer product, প্রতি slice একই প্যাটার্ন |
| CP Decomposition (PARAFAC) | সিপি ডিকম্পোজিশন | \(\mathcal{T}=\sum_r\lambda_r\,a_r\circ b_r\circ c_r\) — SVD-র সরাসরি বড় ভাই |
| CP Rank | সিপি র্যাঙ্ক | সবচেয়ে ছোট \(R\) যাতে CP সমতা মেলে — NP-hard, field-নির্ভর, mode-আকার ছাড়াতে পারে |
| Essential Uniqueness | এসেনশিয়াল ইউনিকনেস | CP প্রায়ই permutation/scaling বাদে একটাই — orthogonality না চাপিয়েই (Kruskal) |
| Border Rank | বর্ডার র্যাঙ্ক | rank-\(R\) set বন্ধ না বলে best rank-\(R\) approximation নাও থাকতে পারে (Eckart–Young ভাঙে) |
| Tucker Decomposition | টাকার ডিকম্পোজিশন | core tensor \(\mathcal{G}\) + প্রতি mode-এ factor matrix — সবসময় থাকে, unique নয় |
| HOSVD | এইচ-ও-এস-ভি-ডি | প্রতি mode-এর unfolding-এর SVD দিয়ে \(U_n\) — Tucker-এর SVD-অনুরূপ, quasi-optimal |
| ALS | অল্টারনেটিং লিস্ট স্কোয়ার্স | দুই factor স্থির রেখে তৃতীয়টা least squares-এ solve — nonconvex, rest |