Chapter 2.1 — System of Linear Equations (রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম)

🎯 এই chapter-এ যা শিখবে

• System of Linear Equations(রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম) আসলে কি — এবং কেন এটা Linear Algebra-র সবচেয়ে পুরনো ও সবচেয়ে দরকারি প্রশ্ন
• একই সিস্টেমকে তিনভাবে লেখা: equation আকারে, matrix equation \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) আকারে, আর Augmented Matrix(অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্স) আকারে
• Row Picture(রো পিকচার) — প্রতিটা equation একটা লাইন/প্লেন, সমাধান হলো তাদের ছেদবিন্দু
• Column Picture(কলাম পিকচার) — সমাধান মানে column vector-দের সঠিক মিশ্রণ (linear combination) দিয়ে \(\mathbf{b}\)-তে পৌঁছানো
• একটা সিস্টেমের ভাগ্য কেন মাত্র তিন রকম হতে পারে: ঠিক একটা সমাধান, কোনো সমাধান নেই, বা অসীম সমাধান

🖼️ এক ছবিতে মূল idea

একই সিস্টেম \(x+y=10,\ 2x-y=2\) — বাঁয়ে Row Picture: দুটো লাইন যেখানে কাটে সেটাই সমাধান \((4,6)\)। ডানে Column Picture: column vector দুটোকে \(4\) আর \(6\) দিয়ে গুণ করে যোগ করলে ঠিক \(\mathbf{b}=(10,2)\)-তে পৌঁছাই। দুই ছবি, একই উত্তর!

১. কি? (What)

দৈনন্দিন গল্প দিয়ে শুরু

ধরো তুমি বাজারে গেলে। ১টা কলম আর ১টা খাতা কিনলে খরচ হয় ১০ টাকা। পরদিন ২টা কলম কিনে ১টা খাতা ফেরত দিলে (দোকানদার বন্ধু, তাই টাকা ফেরত দিলো) খরচ দাঁড়ায় ২ টাকা। প্রশ্ন: কলমের দাম কত, খাতার দাম কত?

কলমের দাম \(x\) আর খাতার দাম \(y\) ধরলে গল্পটা হয়ে যায় দুটো সমীকরণ:

\[ \begin{aligned} x + y &= 10\\ 2x - y &= 2 \end{aligned} \]

এই যে একাধিক unknown(অজানা রাশি) নিয়ে একাধিক শর্ত একসাথে — এটাই একটা System of Linear Equations। উত্তরটা তোমাকে এমন হতে হবে যেন সব শর্ত একসাথে মেনে চলে। এখানে \(x=4, y=6\): প্রথমটায় \(4+6=10\) ✓, দ্বিতীয়টায় \(8-6=2\) ✓।

সংজ্ঞা, ধীরে ধীরে

একটা Linear Equation(রৈখিক সমীকরণ) হলো এমন সমীকরণ যেখানে unknown-গুলো শুধু প্রথম ঘাতে (power 1-এ) থাকে, আর তাদের সাথে শুধু সংখ্যা গুণ হয়:

\[a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_k x_k = b\]

• \(x_1, \dots, x_k\) হলো Unknown(অজানা) বা Variable(চলক) — যাদের মান খুঁজছি
• \(a_1, \dots, a_k\) হলো Coefficient(সহগ) — জানা সংখ্যা
• \(b\) হলো Constant Term(ধ্রুবক পদ) — ডানপাশের জানা সংখ্যা

⚠️ "Linear" শব্দটা খুব কড়া: \(x^2\), \(xy\), \(\sqrt{x}\), \(\sin x\), \(\frac{1}{x}\) — এসব থাকলেই সেটা আর linear নয়। যেমন \(x^2+y=5\) linear নয়, কিন্তু \(3x - 7y + 2z = 0\) linear।

\(r\)টা linear equation আর \(k\)টা unknown একসাথে নিলে পাই:

\[ \begin{aligned} a^1_1 x_1 + a^1_2 x_2 + \cdots + a^1_k x_k &= b^1\\ a^2_1 x_1 + a^2_2 x_2 + \cdots + a^2_k x_k &= b^2\\ \vdots\qquad\qquad &\ \ \vdots\\ a^r_1 x_1 + a^r_2 x_2 + \cdots + a^r_k x_k &= b^r \end{aligned} \]

এটাই সাধারণ রূপের System of Linear Equations। একটা Solution(সমাধান) হলো unknown-গুলোর এমন একগুচ্ছ মান \((x_1, \dots, x_k)\) যা প্রতিটা equation-কে সত্য করে। সব সমাধানের সেটকে বলে Solution Set(সমাধান সেট)।

একই প্রশ্ন লেখার তিনটা পোশাক

আগের Part-এ তুমি vector আর "সংখ্যার টেবিল" (matrix-এর প্রথম ঝলক) দেখেছ। সেই ভাষায় আমাদের কলম-খাতা সিস্টেমকে তিনভাবে লেখা যায় — তিনটাই হুবহু একই প্রশ্ন:

পোশাক ১ — Equation আকারে:

\[\begin{aligned} x+y&=10\\ 2x-y&=2 \end{aligned}\]

পোশাক ২ — Matrix Equation \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\):

\[\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ 2 \end{pmatrix}\]

পোশাক ৩ — Augmented Matrix(অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্স): variable-এর নামগুলো বাদ দিয়ে শুধু সংখ্যাগুলো একটা টেবিলে রাখা, ডানপাশের \(b\)-দের একটা দাগ দিয়ে আলাদা করে:

\[\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 10\\ 2 & -1 & 2 \end{array}\right)\]

Augmented matrix-এ প্রতিটা row = একটা equation, আর দাগের বাঁয়ের প্রতিটা column = একটা variable-এর সহগেরা। পরের chapter-এ (Gaussian Elimination) আমরা এই তৃতীয় পোশাকটাই সবচেয়ে বেশি পরবো, কারণ variable-এর নাম বারবার লেখার পরিশ্রম বাঁচে।

২. দেখতে কেমন?

Row Picture: প্রতিটা equation একটা লাইন

\(x+y=10\) — এই একটা equation-এর সমাধান অসংখ্য: \((0,10), (4,6), (10,0), \dots\) সব মিলে 2D plane-এ একটা লাইন। দ্বিতীয় equation \(2x-y=2\)-ও একটা লাইন। সিস্টেমের সমাধান মানে এমন বিন্দু যা দুটো লাইনের উপরেই আছে — অর্থাৎ তাদের ছেদবিন্দু (intersection point)।

কিন্তু দুটো লাইন সবসময় এক বিন্দুতে কাটে না! তিনটা সম্ভাবনা:

একটা \(2\times 2\) সিস্টেমের ঠিক তিনটা সম্ভাব্য ভাগ্য: (বাঁয়ে) লাইন দুটো এক বিন্দুতে কাটে — ঠিক ১টা সমাধান; (মাঝে) সমান্তরাল লাইন কখনো মেলে না — সমাধান নেই; (ডানে) দুটো equation আসলে একই লাইন — অসীম সমাধান।

3D-তে: প্রতিটা equation একটা প্লেন

Unknown তিনটা হলে (\(x, y, z\)) প্রতিটা equation আর লাইন নয় — 3D স্পেসে একটা Plane(সমতল)। তিনটা equation মানে তিনটা প্লেন, আর সমাধান হলো তিনটারই সাধারণ বিন্দু:

3D Row Picture: \(x+y+z=6\), \(x-y+z=2\), \(x+y-z=0\) — তিনটা প্লেন ঠিক একটা বিন্দু \((1,2,3)\)-তে মেলে। (Plane-দের এই মেলামেশার আরও নাটকীয় গল্প — লাইন, প্লেন, শূন্য — আসবে Chapter 2.4-এ।)

Column Picture: vector মিশানোর খেলা

এবার সেই একই সিস্টেমকে সম্পূর্ণ অন্য চোখে দেখি। Matrix equation-টাকে column ধরে ভাঙলে:

\[x\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10\\2\end{pmatrix}\]

প্রশ্নটা এখন: "column vector \((1,2)\) আর \((1,-1)\)-কে কত করে নিলে তাদের মিশ্রণ ঠিক \(\mathbf{b}=(10,2)\) হয়?" — এটা তোমার চেনা প্রশ্ন! Part I-এ শিখেছ, এটা একটা Linear Combination(লিনিয়ার কম্বিনেশন) খোঁজার প্রশ্ন। উত্তর: \(4\) ভাগ প্রথম column + \(6\) ভাগ দ্বিতীয় column।

3D-তেও একই খেলা — তিনটা column vector-এর সিঁড়ি বেয়ে \(\mathbf{b}\)-তে পৌঁছানো:

3D Column Picture: \(1\cdot\text{col}_1 + 2\cdot\text{col}_2 + 3\cdot\text{col}_3\) — dashed সিঁড়ি বেয়ে হাঁটলে ঠিক \(\mathbf{b}\)-তে পৌঁছে যাই। সমাধান \((1,2,3)\) মানে "কোন column কতটুকু"।

দুই ছবির তুলনা — এটা মুখস্থ নয়, হজম করো

	Row Picture	Column Picture
কি আঁকি	প্রতিটা equation (row) একটা লাইন/প্লেন	প্রতিটা column একটা vector
সমাধান মানে	সব লাইন/প্লেনের ছেদবিন্দু	column-দের মিশ্রণের রেসিপি (\(x, y\) = কতটুকু করে)
ছবি আঁকা হয় কোন স্পেসে	unknown-দের স্পেসে (axes: \(x, y, \dots\))	\(\mathbf{b}\) যে স্পেসে থাকে সেখানে
"সমাধান নেই" দেখতে কেমন	লাইন/প্লেন কোথাও একসাথে মেলে না	\(\mathbf{b}\) column-দের নাগালের (span-এর) বাইরে
কোথায় বেশি কাজে লাগে	২–৩টা unknown-এ চোখে দেখা যায়	যেকোনো মাত্রায়; পুরো Linear Algebra-র ভিত্তি

দুটো ছবিই সত্যি, একই সময়ে। Row picture টা স্কুল থেকে চেনা; কিন্তু column picture-টাই সামনের chapter-গুলোতে (span, basis, least squares...) বারবার ফিরে আসবে। দুটোকেই চোখ বন্ধ করে আঁকতে পারা চাই।

৩. কোথায় ইউজ হয়?

Linear system পৃথিবীর সবচেয়ে বেশি সমাধান-করা গণিত সমস্যা — কোনো অতিশয়োক্তি ছাড়াই। কয়েকটা জায়গা:

• GPS: তোমার ফোন ৪+টা স্যাটেলাইট থেকে দূরত্বের equation পায়; সেগুলোর সমাধানই তোমার অবস্থান। (equation-গুলো linear করে নেওয়া হয় — সেই কৌশল পরে আসবে।)
• Electrical Circuit: Kirchhoff-এর law প্রতিটা junction আর loop-এ একটা করে linear equation দেয়; current গুলো বের করতে system solve করতে হয়।
• অর্থনীতি: Leontief-এর input–output model — কোন শিল্প কোন শিল্পের output কতটুকু খায় — একটা বিশাল linear system; এই কাজে তিনি Nobel পেয়েছিলেন।
• CT Scan: শরীরের ভেতরের ছবি বানানো মানে হাজার হাজার X-ray beam-এর absorption equation থেকে টিস্যুর ঘনত্ব বের করা — লাখো unknown-এর linear system।
• Machine Learning: Linear regression-এর "best fit" শেষমেশ একটা linear system-এর সমাধান (Part V-এ normal equations নামে দেখবে)। Neural network-এর প্রতিটা layer-ও ভেতরে ভেতরে matrix–vector গুণ।
• Computer Graphics: আলো, ছায়া, physics simulation — প্রতি ফ্রেমে লাখ লাখ linear system।

মোদ্দা কথা: বাস্তব জগতের বহু সম্পর্ক প্রায়-linear, আর linear জিনিস আমরা দ্রুত ও নিশ্চিতভাবে solve করতে জানি। তাই বিজ্ঞান-প্রকৌশলের অর্ধেক কৌশলই হলো "সমস্যাটাকে কোনোভাবে linear system বানাও, তারপর solve করো।"

৪. Properties

Property 1 — তিন পোশাক সমতুল্য

Equation form, matrix form \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), আর augmented matrix \((A|\mathbf{b})\) — তিনটাই একই তথ্য বহন করে; একটার সমাধান সেটই অন্যটার সমাধান সেট। তাই যেটাতে কাজ সুবিধা, সেটাই ব্যবহার করবো।

Property 2 — সমাধানের সংখ্যা: \(0\), \(1\), নয়তো \(\infty\) (Trichotomy)

যেকোনো linear system-এর সমাধান সংখ্যা হয় ০টা, ১টা, নয়তো অসীম — কখনোই "ঠিক ২টা" বা "ঠিক ৫টা" নয়। কেন, তার geometric প্রমাণ §৫-এ। যে সিস্টেমের অন্তত একটা সমাধান আছে তাকে বলে Consistent(সামঞ্জস্যপূর্ণ), যার নেই তাকে Inconsistent(অসামঞ্জস্যপূর্ণ)।

Property 3 — Homogeneous system কখনো খালি হাতে ফেরায় না

\(\mathbf{b}=\mathbf{0}\) হলে সিস্টেমকে বলে Homogeneous(সমসত্ত্ব): \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\)। এর সবসময় অন্তত একটা সমাধান আছে — \(x_1=\cdots=x_k=0\), যাকে বলে trivial solution। অর্থাৎ homogeneous system কখনো inconsistent হয় না; প্রশ্ন শুধু trivial ছাড়া আর কিছু আছে কি না। (এই ছোট্ট পর্যবেক্ষণ Chapter 2.4-এ বিশাল কাজে লাগবে।)

Property 4 — সমাধান সেট না বদলানো তিনটা চাল

নিচের তিনটা কাজের যেকোনোটা করলে system-এর চেহারা বদলায় কিন্তু সমাধান সেট বদলায় না:

1. দুটো equation-এর জায়গা অদলবদল করা
2. কোনো equation-কে nonzero সংখ্যা দিয়ে গুণ করা
3. এক equation-এর গুণিতক আরেক equation-এ যোগ করা

কেন সমাধান বদলায় না? প্রতিটা চাল উল্টানো যায় (reversible): অদলবদল আবার অদলবদলে ফেরে, \(c\) দিয়ে গুণ \(\frac{1}{c}\) দিয়ে গুণে ফেরে, "যোগ করা" "বিয়োগ করায়" ফেরে। পুরনো সমাধান নতুন system মানে, নতুনটার সমাধান পুরনোটা মানে — তাই সেট একই। এই তিন চালের নামই পরের chapter-এ হবে Elementary Row Operations — Gaussian Elimination-এর একমাত্র হাতিয়ার।

Property 5 — Column picture-এর ভাষায় consistency

\(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) consistent \(\iff\) \(\mathbf{b}\)-কে \(A\)-র column-দের linear combination হিসেবে লেখা যায় \(\iff\) \(\mathbf{b}\) column-দের Span(স্প্যান)-এর ভেতরে (Part I-এর সেই "নাগাল" ধারণা!)।

Column দুটো একই লাইনে শুয়ে থাকলে (collinear) তাদের span শুধু ওই লাইনটাই। \(\mathbf{b}\) লাইনের উপরে পড়লে অসীম সমাধান (বাঁয়ে), লাইনের বাইরে পড়লে কোনো সমাধানই নেই (ডানে)।

৫. Intuition — কেন সত্য?

কেন ঠিক ২টা সমাধান অসম্ভব?

ধরো \(\mathbf{u}\) আর \(\mathbf{v}\) দুটো আলাদা সমাধান: \(A\mathbf{u}=\mathbf{b}\) এবং \(A\mathbf{v}=\mathbf{b}\)। এখন তাদের সংযোগ-রেখার যেকোনো বিন্দু নাও:

\[\mathbf{w} = \mathbf{u} + t(\mathbf{v}-\mathbf{u}), \quad t \in \mathbb{R}\]

তাহলে (matrix গুণ distributive — Part I-এ দেখা):

\[A\mathbf{w} = A\mathbf{u} + t(A\mathbf{v} - A\mathbf{u}) = \mathbf{b} + t(\mathbf{b}-\mathbf{b}) = \mathbf{b}\]

অর্থাৎ \(\mathbf{w}\)-ও সমাধান — প্রতিটা \(t\)-র জন্য! দুটো আলাদা সমাধান থাকলেই তাদের মধ্য দিয়ে যাওয়া গোটা লাইনটাই সমাধান, মানে অসীম। তাই সংখ্যাটা \(0\), \(1\), না হলে \(\infty\) — মাঝামাঝি কিছু নেই। লক্ষ করো, প্রমাণে শুধু linearity লেগেছে; equation-এ \(x^2\) থাকলে এই যুক্তি ভেঙে পড়তো (একটা circle আর line তো দিব্যি ঠিক ২ বিন্দুতে কাটে!)।

Row picture-এ একই কথা

দুটো সরলরেখা দুই বিন্দুতে কাটতে পারে না — কাটলে তারা আসলে একই রেখা। প্লেনের বেলাতেও তাই। Geometry আর algebra এখানে একই সত্য দুই ভাষায় বলছে।

দুই ছবি কেন একই উত্তর দেয়?

Row picture জিজ্ঞেস করে: "কোন বিন্দু \((x,y)\) সব শর্ত মানে?" Column picture জিজ্ঞেস করে: "কোন ওজন \((x,y)\) দিয়ে column মিশালে \(\mathbf{b}\) পাই?" দুটো প্রশ্নের অচেনা রাশি একই \((x,y)\) — শুধু আমরা তাকিয়ে আছি দুটো ভিন্ন স্পেসে। Row picture-এ \((x,y)\) একটা বিন্দুর ঠিকানা; column picture-এ \((x,y)\) একটা রেসিপির পরিমাণ। সংখ্যা একই, ব্যাখ্যা দুই। এই "এক বস্তু, দুই দৃষ্টি" অভ্যাসটাই Linear Algebra-য় শক্তিশালী হওয়ার আসল রহস্য।

৬. Code-এ কেমনে লিখে

NumPy দিয়ে সিস্টেম solve করা এক লাইনের কাজ — np.linalg.solve(A, b):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# কলম-খাতা সিস্টেম: x + y = 10, 2x - y = 2
A = np.array([[1.0, 1.0],
              [2.0, -1.0]])
b = np.array([10.0, 2.0])

x = np.linalg.solve(A, b)
print("solution:", x)            # [4. 6.]
print("check A @ x:", A @ x)     # [10.  2.] — b ফেরত এলো ✓

Output:

solution: [4. 6.]
check A @ x: [10.  2.]

A @ x করে সবসময় যাচাই করবে — উত্তর \(\mathbf{b}\) ফেরত দিচ্ছে কি না। এবার দুই ছবিই এঁকে ফেলি:

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 5))

# --- Row picture: দুটো লাইন ---
xs = np.linspace(-2, 12, 100)
ax1.plot(xs, 10 - xs, label="x + y = 10")        # y = 10 - x
ax1.plot(xs, 2*xs - 2, label="2x - y = 2")       # y = 2x - 2
ax1.plot(*x, "r*", markersize=15, label="solution")
ax1.set_title("Row picture"); ax1.legend()

# --- Column picture: vector মিশ্রণ ---
c1, c2 = A[:, 0], A[:, 1]                        # column গুলো
ax2.quiver(0, 0, *c1, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="C0")
ax2.quiver(0, 0, *c2, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="C2")
ax2.quiver(0, 0, *b,  angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="C3")
ax2.set_xlim(-2, 12); ax2.set_ylim(-4, 12)
ax2.set_title("Column picture: 4*col1 + 6*col2 = b")

plt.show()

আর যদি সিস্টেমের একক সমাধান না থাকে? তখন solve ভদ্রভাবে error ছুড়ে দেয়:

A_bad = np.array([[1.0, 2.0],
                  [2.0, 4.0]])    # দ্বিতীয় row = প্রথমটার দ্বিগুণ!
b_bad = np.array([3.0, 2.0])

try:
    np.linalg.solve(A_bad, b_bad)
except np.linalg.LinAlgError as e:
    print("Error:", e)            # Singular matrix

Output:

Error: Singular matrix

Singular(সিঙ্গুলার) মানে matrix-টার column-রা একে অন্যের ছায়া (এখানে col2 = 2·col1) — একক সমাধান দেওয়ার ক্ষমতা নেই। তখন সমাধান ০টা না অসীম, তা জানতে লাগবে পরের chapter-এর Gaussian Elimination।

৭. Worked Examples

Example 1 — দুই ছবিতেই solve করা

সমস্যা: \(\;x + 2y = 5,\quad 3x - y = 1\)

Row picture (substitution দিয়ে): প্রথম equation থেকে \(x = 5 - 2y\)। দ্বিতীয়টায় বসাই:

\[3(5-2y) - y = 1 \implies 15 - 6y - y = 1 \implies -7y = -14 \implies y = 2\]

তাহলে \(x = 5 - 2(2) = 1\)। সমাধান: \((1, 2)\) — দুটো লাইনের ছেদবিন্দু।

Column picture (যাচাই): প্রশ্নটা ছিল \(x\binom{1}{3} + y\binom{2}{-1} = \binom{5}{1}\)। বসিয়ে দেখি:

\[1\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+4\\3-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix} ✓\]

একই রেসিপি, দুই রান্নাঘর।

Example 2 — তিন unknown, ধাপে ধাপে

সমস্যা:

\[\begin{aligned} x + y + z &= 6\\ x - y + z &= 2\\ x + y - z &= 0 \end{aligned}\]

ধাপ ১: (equation 1) − (equation 2): \(\;2y = 4 \implies y = 2\)

ধাপ ২: (equation 1) − (equation 3): \(\;2z = 6 \implies z = 3\)

ধাপ ৩: equation 1-এ ফেরত: \(x + 2 + 3 = 6 \implies x = 1\)

সমাধান \((1, 2, 3)\) — এটাই fig03-এর তিন প্লেনের মিলনবিন্দু। লক্ষ করো, "এক equation আরেকটা থেকে বিয়োগ" — Property 4-এর তৃতীয় চাল — সমাধান সেট অক্ষত রেখে system-টাকে সহজ করে দিলো। পরের chapter-এ এই চালগুলোকেই আমরা একটা যন্ত্রের মতো সাজাবো।

Example 3 — যখন উত্তর "অসম্ভব"

সমস্যা: \(\;x + 2y = 3,\quad 2x + 4y = 10\)

দ্বিতীয় equation-টা প্রথমটার ঠিক দ্বিগুণ হওয়ার কথা ছিল — বাঁপাশ (\(2x+4y\)) ঠিকই দ্বিগুণ, কিন্তু ডানপাশ \(10 \ne 2\times 3\)। প্রথম থেকে দ্বিগুণ করে বিয়োগ দিলে:

\[(2x+4y) - 2(x+2y) = 10 - 6 \implies 0 = 4\;(!)\]

\(0=4\) কোনো \((x,y)\)-র পক্ষেই সত্য নয় — সিস্টেম inconsistent, সমাধান সেট খালি। Row picture: দুটো সমান্তরাল লাইন। Column picture: col-রা \(\binom{1}{2}\)-লাইনে শুয়ে আছে, কিন্তু \(\mathbf{b}=(3,10)\) সেই লাইনে নেই (কারণ \(10 \neq 2\cdot 3\)) — নাগালের বাইরে।

৮. Problems ও Solutions

Problem 1. নিচের কোনগুলো linear equation? কারণসহ বলো। (a) \(3x - 2y + z = 7\) (b) \(x^2 + y = 4\) (c) \(\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = 1\) (d) \(xy + z = 2\) (e) \(\sqrt{2}\,x - y = 0\)

Solution

(a) Linear ✓ — সব variable প্রথম ঘাতে, সহগ সংখ্যা।

(b) Linear নয় ✗ — \(x^2\) আছে; variable-এর ঘাত ২।

(c) Linear ✓ — \(\frac{x}{3}\) মানে \(\frac{1}{3}x\); সহগ ভগ্নাংশ হতে কোনো বাধা নেই।

(d) Linear নয় ✗ — \(xy\) দুটো variable-এর গুণফল; linearity-তে variable-রা কেবল সংখ্যার সাথে গুণ হতে পারে, একে অন্যের সাথে নয়।

(e) Linear ✓ — \(\sqrt{2}\) একটা ধ্রুবক সংখ্যা; \(\sqrt{x}\) হলে সমস্যা হতো, \(\sqrt{2}\)-তে নয়।

Problem 2. সিস্টেম \(\;2x + y = 7,\ x - y = 2\)-কে (a) matrix equation, (b) augmented matrix, (c) column picture (vector equation) — তিন রূপে লেখো, তারপর solve করে তিন রূপেই উত্তর যাচাই করো।

Solution

(a) Matrix equation:

\[\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\ 2\end{pmatrix}\]

(b) Augmented matrix:

\[\left(\begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 7\\ 1 & -1 & 2\end{array}\right)\]

(c) Vector (column) equation:

\[x\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\2\end{pmatrix}\]

Solve: equation দুটো যোগ করলে \(3x = 9 \implies x = 3\); তারপর \(3 - y = 2 \implies y = 1\)।

যাচাই: equation রূপে: \(2(3)+1=7\) ✓, \(3-1=2\) ✓। Column রূপে: \(3\binom{2}{1} + 1\binom{1}{-1} = \binom{6+1}{3-1} = \binom{7}{2}\) ✓।

Problem 3. \(c\)-র কোন মানের জন্য সিস্টেম \(\;x + 3y = 4,\ 2x + 6y = c\) -র (a) কোনো সমাধান নেই, (b) অসীম সমাধান? (c) কোনো \(c\)-তে কি ঠিক ১টা সমাধান সম্ভব? Row আর column — দুই picture দিয়েই ব্যাখ্যা করো।

Solution

দ্বিতীয় equation-এর বাঁপাশ প্রথমটার ঠিক দ্বিগুণ: \(2(x+3y) = 2x+6y\)।

(a) \(c \ne 8\) হলে: প্রথম equation বলে \(x+3y=4\), দ্বিতীয়টা বলে \(x+3y = c/2 \ne 4\) — পরস্পরবিরোধী, সমাধান নেই। Row picture: দুটো সমান্তরাল লাইন (\(slope\) একই, intercept আলাদা)। Column picture: column \(\binom{1}{2}\) ও \(\binom{3}{6}\) একই লাইনে; \(\binom{4}{c}\) সেই লাইনে থাকতে হলে দরকার \(c = 2\cdot4 = 8\) — নয় বলে \(\mathbf{b}\) নাগালের বাইরে।

(b) \(c = 8\) হলে: দ্বিতীয় equation প্রথমটারই দ্বিগুণ — নতুন কোনো তথ্য নেই। একটাই কার্যকর equation, সমাধান অসীম: \(x = 4-3t,\ y = t\)। Row picture: দুটো লাইন মিলে গেছে। Column picture: \(\mathbf{b}\) এখন column-দের লাইনের উপরেই।

(c) সম্ভব নয়। ঠিক ১টা সমাধানের জন্য লাইন দুটোকে ভিন্ন দিকে (ভিন্ন slope-এ) যেতে হতো; এখানে বাঁপাশ-দুটো proportional বলে slope চিরকাল একই।

Problem 4. এমন একটা \(3\)-unknown সিস্টেম নিজে বানাও যার সমাধান \((2, -1, 3)\)। তারপর দেখাও যে তোমার সিস্টেমের যেকোনো দুই equation যোগ করলে যে নতুন equation পাওয়া যায়, \((2,-1,3)\) সেটাও মানে। এ থেকে কী শিক্ষা?

Solution

বানানোর সহজ কৌশল: বাঁপাশ ইচ্ছামতো লিখে \((2,-1,3)\) বসিয়ে ডানপাশ ঠিক করা। যেমন:

\[\begin{aligned} x + y + z &= 2 + (-1) + 3 = 4\\ 2x - y &= 4+1 = 5\\ y + 2z &= -1+6 = 5 \end{aligned}\]

(তোমার সিস্টেম ভিন্ন হতেই পারে — উত্তর অগণিত।)

প্রথম দুটো যোগ করি: \(3x + z = 9\)। যাচাই: \(3(2) + 3 = 9\) ✓।

শিক্ষা: সমাধান পুরনো equation-দের মানলে তাদের যেকোনো যোগফল/গুণিতকও মানে — এ কারণেই elimination-এর চালগুলো (Property 4) সমাধান হারায় না। তবে খেয়াল রেখো, উল্টোটা সবসময় নয়: নতুন equation দিয়ে পুরনোটাকে বদলে দিলে তথ্য হারাতে পারে, সাথে রাখলে নয় — বদলানো নিরাপদ তখনই যখন চালটা reversible।

Problem 5. Column picture ব্যবহার করে গণনা ছাড়া বলো: \(\;x\binom{1}{2} + y\binom{-2}{-4} = \binom{3}{5}\) সিস্টেমের সমাধান কয়টা?

Solution

দ্বিতীয় column \(\binom{-2}{-4} = -2\binom{1}{2}\) — দুটো column একই লাইনে (collinear), তাদের span হলো \(\binom{1}{2}\)-এর মধ্য দিয়ে যাওয়া লাইন। \(\mathbf{b} = \binom{3}{5}\) কি সেই লাইনে? লাইনের বিন্দুরা দেখতে \(\binom{t}{2t}\) — দ্বিতীয় উপাদান প্রথমটার দ্বিগুণ। কিন্তু \(5 \neq 2\times 3\)। তাই \(\mathbf{b}\) নাগালের বাইরে — সমাধান ০টা। (fig04-এর ডান প্যানেলের হুবহু পরিস্থিতি।)

Problem 6. একটা homogeneous system \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) নাও। প্রমাণ করো: (a) \(\mathbf{u}\) ও \(\mathbf{v}\) সমাধান হলে \(\mathbf{u}+\mathbf{v}\)-ও সমাধান; (b) \(\mathbf{u}\) সমাধান হলে যেকোনো \(c\in\mathbb{R}\)-এর জন্য \(c\mathbf{u}\)-ও সমাধান। Non-homogeneous (\(\mathbf{b}\ne\mathbf{0}\)) হলে (a), (b) কোথায় ভেঙে যায়?

Solution

(a) \(A(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = A\mathbf{u} + A\mathbf{v} = \mathbf{0}+\mathbf{0} = \mathbf{0}\) ✓

(b) \(A(c\mathbf{u}) = c(A\mathbf{u}) = c\,\mathbf{0} = \mathbf{0}\) ✓

(দুটোতেই ব্যবহার করেছি matrix গুণের linearity — Part I।)

Non-homogeneous হলে: \(A(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \mathbf{b}+\mathbf{b} = 2\mathbf{b} \ne \mathbf{b}\) (যেহেতু \(\mathbf{b}\ne\mathbf{0}\)) — যোগফল আর সমাধান থাকে না। একইভাবে \(A(c\mathbf{u}) = c\mathbf{b} \ne \mathbf{b}\) যদি \(c\ne 1\)। অর্থাৎ homogeneous সমাধানেরা যোগ-গুণে বন্ধ (Chapter 2.4-এ দেখবে এরা একটা subspace গড়ে), non-homogeneous-রা নয়।

Problem 7. তোমার এলাকার চায়ের দোকানে: ২ কাপ চা + ১টা বিস্কুট = ২৬ টাকা; ১ কাপ চা + ২টা বিস্কুট = ২২ টাকা। (a) সিস্টেম লিখে solve করো। (b) এবার ধরো তৃতীয় একটা তথ্য এলো: ৩ কাপ চা + ৩টা বিস্কুট = ৪৮ টাকা। তিন-equation সিস্টেমটা কি এখনো consistent? এমন "বাড়তি equation" থাকা ভালো না খারাপ?

Solution

(a) চা \(=x\), বিস্কুট \(=y\):

\[2x + y = 26, \qquad x + 2y = 22\]

প্রথমটাকে ২ দিয়ে গুণ করে দ্বিতীয়টা বিয়োগ: \(4x + 2y - x - 2y = 52 - 22 \implies 3x = 30 \implies x = 10\), তারপর \(y = 26 - 20 = 6\)। চা ১০ টাকা, বিস্কুট ৬ টাকা।

(b) যাচাই: \(3(10) + 3(6) = 48\) ✓ — তৃতীয় equation আগের দুটোর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ (আসলে সেটা equation-1 + equation-2-এরই সমান: \((2x+y)+(x+2y)=3x+3y\), \(26+22=48\))। সিস্টেম consistent-ই থাকলো, সমাধানও একই।

বাড়তি consistent equation ক্ষতি করে না, নতুন তথ্যও দেয় না। কিন্তু বাস্তব ডেটায় (যেমন measurement-এ একটু noise থাকলে) তৃতীয় তথ্যটা হয়তো বলতো \(47.8\) — তখন সিস্টেম inconsistent হয়ে যেত, আর "সবচেয়ে কম ভুলের" সমাধান খুঁজতে লাগতো Least Squares (Part V-এর নায়ক)। বেশি equation মানেই বেশি নিশ্চয়তা — ঠিকমতো সামলাতে জানলে।

৯. Common ভুল

ভুল ১: "দুটো equation, দুটো unknown — অবশ্যই একটা সমাধান আছে।" ✗ ভুল। লাইন সমান্তরাল হলে ০টা, মিলে গেলে অসীম। equation আর unknown-এর সংখ্যা নয়, equation-গুলোর স্বাধীনতা আসল কথা। ✓ ঠিক: সমাধান-সংখ্যা জানতে হলে system-টা আসলে solve (বা elimination) করে দেখতে হয়।

ভুল ২: Row আর column picture গুলিয়ে ফেলা — "column picture-এ \(b\)-ও একটা লাইন।" ✗ ভুল। Row picture-এ প্রতিটা equation একটা লাইন/প্লেন; column picture-এ প্রতিটা column আর \(\mathbf{b}\) হলো এক-একটা vector (তীর)। ✓ ঠিক: আঁকার আগে নিজেকে জিজ্ঞেস করো — আমি কি unknown-দের স্পেসে আছি (row), নাকি output-দের স্পেসে (column)?

ভুল ৩: "\(0=4\) এসেছে মানে আমি অঙ্কে ভুল করেছি।" ✗ সবসময় নয়! সঠিক elimination-এও \(0=4\)-এর মতো লাইন আসতে পারে — সেটা একটা উত্তর: সিস্টেম inconsistent। ✓ ঠিক: \(0 = (\text{nonzero})\) মানে সমাধান নেই; \(0=0\) মানে একটা equation বাড়তি ছিল (তথ্য কম, সমাধান বেশি হতে পারে)।

ভুল ৪: \(x^2\) বা \(xy\)-ওয়ালা সিস্টেমে linear-এর নিয়ম খাটানো। ✗ ভুল। "সমাধান \(0/1/\infty\)" জাতীয় সব উপপাদ্য linearity-র উপর দাঁড়িয়ে। Circle–line সিস্টেমে দিব্যি ঠিক ২টা সমাধান হয়। ✓ ঠিক: নিয়ম প্রয়োগের আগে দেখে নাও প্রতিটা equation সত্যিই linear কি না (Problem 1-এর চেকলিস্ট)।

ভুল ৫: Augmented matrix-এ ডানপাশের column-টাকেও coefficient ভাবা। ✗ ভুল। দাগের ডানের column-টা \(\mathbf{b}\) — সে কোনো variable-এর সহগ নয়। ✓ ঠিক: variable-এর সংখ্যা = দাগের বাঁয়ের column-সংখ্যা; equation-এর সংখ্যা = row-সংখ্যা।

১০. এক নজরে

ধারণা	এক লাইনে
Linear equation	variable-রা শুধু প্রথম ঘাতে, সংখ্যার সাথে গুণ: \(a_1x_1+\cdots+a_kx_k=b\)
System	একাধিক linear equation, সব একসাথে মানতে হবে
তিন পোশাক	equations \(\equiv A\mathbf{x}=\mathbf{b} \equiv (A\,\vert\,\mathbf{b})\)
Row picture	প্রতি equation একটা লাইন/hyperplane; সমাধান = সবার ছেদ
Column picture	সমাধান = column-দের কোন মিশ্রণে \(\mathbf{b}\) পৌঁছাই
Trichotomy	সমাধান \(0\), \(1\), নয়তো \(\infty\) — আর কিছু সম্ভব না
Consistent	\(\iff \mathbf{b} \in\) column-দের span
Homogeneous	\(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\); trivial solution সবসময় আছে

পরের chapter-এর সেতু: এই chapter-এ সিস্টেম solve করেছি হাতে-কলমে, একটু এলোমেলোভাবে — কখনো substitution, কখনো যোগ-বিয়োগ। Chapter 2.2-এ এই যোগ-বিয়োগের চালগুলোকে সাজাবো একটা নিখুঁত, যান্ত্রিক, কখনো-না-হারানো অ্যালগরিদমে — Gaussian Elimination — যেটা যেকোনো আকারের সিস্টেমকে ধাপে ধাপে সবচেয়ে সরল রূপ RREF-এ নিয়ে যায়, আর সমাধান-সংখ্যার প্রশ্নটাও এক নজরে মিটিয়ে দেয়।

📓 Notebook Project

notebooks/part-02/ch01-project.ipynb — নিজের হাতে বানাও "দুই-ছবি যন্ত্র": যেকোনো \(2\times2\) সিস্টেম দিলে সে row picture আর column picture পাশাপাশি এঁকে দেখাবে, আর singular case-গুলোও ধরে ফেলবে।