Part IV — Glossary (Vector Spaces ও তাদের গঠন)

Part IV-এর ছয় chapter-এ (4.1–4.6) প্রথম দেখা সব গুরুত্বপূর্ণ term এক টেবিলে — chapter অনুযায়ী সাজানো।

Chapter 4.1 — Vector Space ও Subspace

English Term	বাংলা	এক লাইনে অর্থ
Vector Space	ভেক্টর স্পেস	এমন set যা addition ও scalar multiplication-এ closed, সাথে ১০টি ভদ্রতা-নিয়ম মানে
Subspace	সাবস্পেস	বড় space-এর ভেতরের subset যে inherited operation-এ নিজেই একটা vector space
Closure	ক্লোজার	"বদ্ধতা" — যোগ বা scalar গুণ করলেও ফল ঘরের বাইরে যায় না
Axiom	অ্যাক্সিওম (স্বতঃসিদ্ধ)	যে মৌলিক নিয়ম ধরে নেওয়া হয়, প্রমাণ লাগে না — vector space-এর এমন ১০টি আছে
Zero Vector	জিরো ভেক্টর	\(u + 0_V = u\) মানা বিশেষ vector; প্রতিটি subspace-এ থাকতেই হবে
Additive Inverse	অ্যাডিটিভ ইনভার্স	প্রতিটি \(u\)-এর "উল্টো" \(w\) যেন \(u + w = 0_V\); সবসময় \((-1)\cdot v = -v\)
Subspace Theorem	সাবস্পেস থিওরেম	Non-empty \(U\) subspace \(\iff\) যেকোনো linear combination \(\mu u_1 + \nu u_2 \in U\)
Linear Combination	লিনিয়ার কম্বিনেশন	Vector-দের scalar দিয়ে গুণ করে যোগফল: \(\mu u_1 + \nu u_2\)
Polynomial Space \(P_n\)	পলিনোমিয়াল স্পেস	ডিগ্রি \(\le n\) সব polynomial-এর vector space, zero হলো \(p(t)=0\)
Function Space	ফাংশন স্পেস	সব \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) function-এর vector space, zero হলো \(f(x)=0\)
Intersection (of subspaces)	ইন্টারসেকশন	দুই subspace-এর সাধারণ অংশ \(U\cap W\) — আবার subspace (union সাধারণত নয়)
Symmetric Matrix	সিমেট্রিক ম্যাট্রিক্স	\(A^T = A\) মানা matrix; এদের set \(M_{2\times2}\)-এর একটা subspace

Chapter 4.2 — Linear Independence

English Term	বাংলা	এক লাইনে অর্থ
Linear Independence	লিনিয়ার ইন্ডিপেন্ডেন্স	\(0\) বানানোর একমাত্র উপায় সব coefficient \(0\) — প্রত্যেকে নতুন দিক আনে
Linear Dependence	লিনিয়ার ডিপেন্ডেন্স	\(0\) বানানোর অশূন্য রেসিপি আছে — কেউ একজন redundant
Redundant Vector	রিডান্ড্যান্ট ভেক্টর	"অপ্রয়োজনীয়" সদস্য যাকে বাকিদের linear combination দিয়ে বানানো যায়
Homogeneous System	হোমোজিনিয়াস সিস্টেম	\(Mc = 0\) ধাঁচের system; এর অশূন্য solution থাকলে দল dependent
RREF	আর-আর-ই-এফ	Reduced Row Echelon Form; প্রতিটি column-এ pivot মানেই independent
Pivot	পিভট	RREF-এ প্রতিটি সারির প্রথম \(1\); pivot-হীন column মানে free variable
Free Variable	ফ্রি ভেরিয়েবল	Pivot-বিহীন column-এর অজানা, যাকে ইচ্ছেমতো বসানো যায় — dependence-এর চিহ্ন
Determinant Test	ডিটারমিন্যান্ট টেস্ট	Square ক্ষেত্রে \(\det M \ne 0 \iff\) independent, \(\det M = 0 \iff\) dependent
Multicollinearity	মাল্টিকোলিনিয়ারিটি	Dataset-এ dependent column (redundant feature) — regression অস্থির করে
Rank (preview)	র‍্যাঙ্ক	Matrix-এর স্বাধীন column-সংখ্যা; rank \(=\) vector-সংখ্যা হলে independent
Null Space Vector	নাল স্পেস ভেক্টর	\(Mc = 0\)-এর অশূন্য solution \(c\) — dependence-এর "রেসিপি"

Chapter 4.3 — Basis

English Term	বাংলা	এক লাইনে অর্থ
Basis	বেসিস	Span + independent — vector space-এর নিখুঁত ঠিকানা-ব্যবস্থা
Span	স্প্যান	কয়েকটা vector-এর সব linear combination মিলে যা পৌঁছানো যায়
Coordinates	কোঅর্ডিনেটস (স্থানাঙ্ক)	\(v = c_1b_1 + \cdots + c_nb_n\)-এর সেই অনন্য \(c\)-column, লেখা \([v]_B\)
Standard Basis	স্ট্যান্ডার্ড বেসিস	\(\{e_1, \ldots, e_n\}\) — default ভাষা, যাতে coordinates বের করতে কাজ লাগে না
Uniqueness Theorem	ইউনিকনেস থিওরেম	Basis-এ প্রতিটি vector-কে exactly এক ভাবেই লেখা যায়
Basis Matrix	বেসিস ম্যাট্রিক্স	\(P = (b_1 \cdots b_n)\); coordinates বের করার সমীকরণ \([v]_B = P^{-1}v\)
Coordinate Isomorphism	কোঅর্ডিনেট আইসোমরফিজম	Basis fix করলে \(v \mapsto [v]_B\) যোগ-scale রক্ষাকারী নিখুঁত অনুবাদ
Invertible Matrix	ইনভার্টিবল ম্যাট্রিক্স	\(\mathbb{R}^n\)-এ \(n\)টা vector basis \(\iff\) matrix \(P\) invertible (\(\det P \ne 0\))
Ordered Basis	অর্ডার্ড বেসিস	ক্রম-ঠিক-করা basis \((b_1, \ldots, b_n)\) — coordinates লিখতে ক্রম জরুরি
Orthonormal Basis (preview)	অর্থোনরমাল বেসিস	যে বিশেষ basis-এ dot product দিয়েই coordinates মেলে (Part V-এ পূর্ণ)

Chapter 4.4 — Dimension ও Change of Basis

English Term	বাংলা	এক লাইনে অর্থ
Dimension	ডাইমেনশন (মাত্রা)	যেকোনো basis-এর সদস্যসংখ্যা — সব basis-এ একই, space-এর নিজস্ব পরিচয়
Finite-Dimensional	ফাইনাইট-ডাইমেনশনাল	যে space-এর কোনো basis-এ সসীম সংখ্যক vector থাকে
Change of Basis Matrix	চেঞ্জ অফ বেসিস ম্যাট্রিক্স	\(P = (b_1 \cdots b_n)\) যার column-এ নতুন basis-এর পুরনো-ভাষার রূপ
Exchange Argument	এক্সচেঞ্জ আর্গুমেন্ট	এক-ঢোকে-এক-বেরোয় যুক্তি: independent দল কখনো basis-এর চেয়ে বড় নয়
Well-Defined	ওয়েল-ডিফাইনড	সংজ্ঞাটা অর্থবহ কারণ সব basis-এ সংখ্যা একই — dimension তাই বৈধ
Corollary	কোরোলারি (উপসিদ্ধান্ত)	মূল theorem থেকে সহজে বেরিয়ে আসা ফলাফল, যেমন \(m = n\)
Transit (via standard)	ট্রানজিট	দুই non-standard basis-এ যেতে standard-কে মাঝপথ ধরা: \(P'^{-1}P\)
PCA	পি-সি-এ	Data-র নিজের পছন্দের basis-এ চশমা বদলানো — change of basis-এর প্রয়োগ
DCT / Cosine Basis	ডিসিটি (কোসাইন বেসিস)	JPEG-এ ছবির pixel-কে cosine-wave basis-এ লেখা — compression-এর মূল
Whitening	হোয়াইটেনিং	Feature-দের নতুন basis-এ রূপান্তর যেন প্রতিটা দিক স্বাধীন হয়

Chapter 4.5 — Kernel, Range ও Rank–Nullity Theorem

English Term	বাংলা	এক লাইনে অর্থ
Kernel	কার্নেল	\(L(v) = 0\) মানা সবাই — "চাপা-পড়া" দিক; \(Ax=0\)-এর solution set, subspace
Null Space	নাল স্পেস	Kernel-এর আরেক নাম — \(Ax = 0\)-এর সব solution-এর subspace
Range	রেঞ্জ	সম্ভাব্য সব output-এর set; matrix-এ column-দের span
Image	ইমেজ	Range-এর আরেক নাম — \(\{L(v) : v \in V\}\)
Column Space	কলাম স্পেস	Matrix-এর range — column-গুলোর span
Rank	র‍্যাঙ্ক	\(\dim(\text{range})\) — কতগুলো দিক বেঁচে থাকে
Nullity	নালিটি	\(\dim(\text{kernel})\) — কতগুলো দিক শূন্যে চাপা পড়ে
Rank–Nullity Theorem	র‍্যাঙ্ক–নালিটি থিওরেম	\(\operatorname{rank} + \operatorname{nullity} = n\) — input-মাত্রার নিখুঁত ভাগবাটোয়ারা
One-to-One (Injective)	ওয়ান-টু-ওয়ান (ইনজেক্টিভ)	ভিন্ন input সবসময় ভিন্ন output; \(\iff \ker L = \{0\}\)
Onto (Surjective)	অন্টো (সারজেক্টিভ)	Range পুরো codomain জুড়ে; \(\operatorname{rank} = \dim W\)
Four Fundamental Subspaces	ফোর ফান্ডামেন্টাল সাবস্পেস	Row space, kernel, range, left null space — matrix-এর চার টুকরো
Left Null Space	লেফট নাল স্পেস	Codomain \(\mathbb{R}^m\)-এ range-এর বাইরে থাকা অংশ, dimension \(m - r\)
Special Solution	স্পেশাল সলিউশন	Free variable-প্রতি একটি kernel-basis solution vector

Chapter 4.6 — Linear Map-এর Matrix

English Term	বাংলা	এক লাইনে অর্থ
Matrix of a Linear Map	ম্যাট্রিক্স অফ আ লিনিয়ার ম্যাপ	Basis-চুক্তিতে map-এর সংখ্যা-টেবিল \([L]^{B'}_B\), column \(j = [L(b_j)]_{B'}\)
Bridge Equation	ব্রিজ ইকুয়েশন	\([L(v)]_{B'} = [L]^{B'}_B\,[v]_B\) — abstract map \(=\) matrix গুণ
Column Rule	কলাম রুল	\(j\)-তম column \(= j\)-তম basis vector-এর image-এর output-ভাষার coordinates
Composition	কম্পোজিশন	পরপর দুই map চালানো; \([L_2 \circ L_1] = [L_2][L_1]\) — matrix গুণের জন্মরহস্য
Similar Matrices	সিমিলার ম্যাট্রিক্স	\(M' = P^{-1}MP\)-সম্পর্কিত matrix — একই map-এর ভিন্ন পোশাক
Diagonal Matrix	ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স	শুধু diagonal-এ entry থাকা matrix; চালাক basis-এ map এমন হয়ে সরল হয়
Invariant	ইনভ্যারিয়েন্ট	Basis বদলেও যা অটুট থাকে — rank, determinant, trace
Trace	ট্রেস	Diagonal entry-দের যোগফল; similar matrix-দের মধ্যে সমান থাকে
Eigenvector (preview)	আইগেনভেক্টর	Map-এর "নিজস্ব দিক" \(L(b_i) = \lambda_i b_i\); এই basis-এ matrix diagonal
Jacobian	জ্যাকোবিয়ান	Nonlinear map-এর প্রতি-মুহূর্তের সেরা linear approximation-এর matrix
Commutative Square	কম্যুটেটিভ স্কয়ার	দোতলা বাড়ির ছবি: যে পথেই যাও (map বা matrix), উত্তর এক