Part III-এর ছয় chapter-এ (3.1–3.6) প্রথম দেখা সব গুরুত্বপূর্ণ term এক টেবিলে — chapter অনুযায়ী সাজানো।
| English Term |
বাংলা |
এক লাইনে অর্থ |
| Matrix |
ম্যাট্রিক্স |
\(m\) row × \(n\) column-এ সাজানো সংখ্যার আয়তাকার বিন্যাস — একই সাথে data-পাত্র ও space-এর transformation |
| Transformation |
রূপান্তর (ট্রান্সফরমেশন) |
Space-এর ওপর matrix-এর action — vector ঢোকে, নতুন vector বেরোয় |
| Row |
সারি (রো) |
Matrix-এর আনুভূমিক লাইন; \(a_{ij}\)-তে আগের index \(i\) |
| Column |
কলাম |
Matrix-এর খাড়া লাইন; মূলমন্ত্র — column \(j\) = \(A\mathbf{e}_j\) = basis vector-এর গন্তব্য |
| Entry |
এন্ট্রি |
Matrix-এর একটা ঘরের সংখ্যা; \(a_{ij}\) = row \(i\), column \(j\) |
| Square Matrix |
বর্গ ম্যাট্রিক্স |
\(m = n\)-ওয়ালা matrix — row ও column সমান |
| Row Picture |
রো পিকচার |
\(A\mathbf{x}\)-এর \(i\)-তম entry = (row \(i\)) \(\cdot \mathbf{x}\) — হিসাবের হাতিয়ার |
| Column Picture |
কলাম পিকচার |
\(A\mathbf{x}\) = column-দের linear combination — বোঝার হাতিয়ার |
| Linearity |
রৈখিকতা (লিনিয়ারিটি) |
\(A(\mathbf{u}+\mathbf{v})=A\mathbf{u}+A\mathbf{v}\) ও \(A(c\mathbf{v})=cA\mathbf{v}\) — matrix-এর মূল স্বভাব |
| Basis Vector |
ভিত্তি ভেক্টর (বেসিস ভেক্টর) |
\(\mathbf{e}_1=(1,0)\), \(\mathbf{e}_2=(0,1)\) — যাদের গন্তব্যই matrix-এর column |
| Design Matrix |
ডিজাইন ম্যাট্রিক্স |
ML-এর সেই \(X\) — প্রতি row একটা observation, প্রতি column একটা feature |
| Adjacency Matrix |
সংলগ্নতা ম্যাট্রিক্স (অ্যাডজেসেন্সি ম্যাট্রিক্স) |
নেটওয়ার্কের matrix-রূপ: \(a_{ij}=1\) যদি \(i,j\) যুক্ত, নাহলে \(0\) |
| Zero Matrix |
জিরো ম্যাট্রিক্স |
সব entry \(0\) — পুরো plane-কে origin-এ চুপসে দেয়, undo নেই |
Chapter 3.2 — Matrix × Vector: space-কে বাঁকানো
| English Term |
বাংলা |
এক লাইনে অর্থ |
| Rotation |
ঘূর্ণন (রোটেশন) |
Plane-কে origin-এর চারদিকে \(\theta\) কোণে ঘোরায়; \(R_\theta=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}\), দৈর্ঘ্য অটুট |
| Shear |
শিয়ার (হেলানো/কাঁচি) |
তাসের deck-এর মতো হেলিয়ে দেয়; বর্গ→parallelogram হলেও area একই |
| Scaling |
স্কেলিং (টানা-চাপা) |
অক্ষ বরাবর টানা/চাপা; \(\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}\), area factor \(\vert ab\vert\) |
| Projection |
প্রজেকশন (ছায়া ফেলা) |
Plane-কে চুপসে লাইনে নামায়; তথ্য গিলে ফেলে, undo নেই |
| Unit Square |
একক বর্গ (ইউনিট স্কয়ার) |
\((0,0),(1,0),(1,1),(0,1)\) কোণার বর্গ — transformation-এর "পরীক্ষার কাঠি" |
| Diagonal Matrix |
ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স |
Diagonal ছাড়া সব entry \(0\) — খাঁটি scaling-এর চেহারা |
| Determinant |
ডিটারমিন্যান্ট |
Transformation-এর area scale factor; \(0\) মানে space চ্যাপ্টা |
| Idempotent |
আইডেমপোটেন্ট (অভেদঘাতী) |
\(P^2=P\) — দুইবার করলে নতুন কিছু হয় না, projection-এর সংজ্ঞায়িত ধর্ম |
| Reflection |
রিফ্লেকশন (প্রতিফলন) |
কোনো রেখার সাপেক্ষে আয়নার মতো উল্টে দেয়; orientation বদলায় |
| Uniform Scaling |
ইউনিফর্ম স্কেলিং |
সব দিকে সমান টান (\(a=b\)) — দিক অটুট, শুধু আকার বদল |
| Orientation |
অভিমুখ (ওরিয়েন্টেশন) |
Space-এর "হাত"; reflection উল্টে দিলে det-এর চিহ্ন ঋণাত্মক হয় |
| Vectorization |
ভেক্টরাইজেশন |
অনেক বিন্দু একসাথে এক matrix-গুণে transform — লুপ ছাড়াই |
Chapter 3.3 — Matrix Multiplication = Composition of Functions
| English Term |
বাংলা |
এক লাইনে অর্থ |
| Matrix Multiplication |
ম্যাট্রিক্স গুণন (ম্যাট্রিক্স মাল্টিপ্লিকেশন) |
\((BA)_{ij}\) = (B-র row \(i\))·(A-র column \(j\)); "মোট প্রভাব" হিসাবের মেশিন |
| Composition |
সংযোজন (কম্পোজিশন) |
"আগে \(A\), পরে \(B\)" পরপর চালানো: \((BA)\mathbf{x}=B(A\mathbf{x})\); ডান→বাঁ পড়ো |
| Product Matrix |
প্রোডাক্ট ম্যাট্রিক্স |
দুই transformation-এর কম্বো-effect এক লাফে দেওয়া matrix \(BA\) |
| Shape Rule |
শেপ রুল (আকারের নিয়ম) |
\((m\times n)(n\times p)=(m\times p)\) — ভেতরের \(n\) মিলতেই হবে |
| Associative |
সংযোজনশীল (অ্যাসোসিয়েটিভ) |
\((AB)C=A(BC)\) — composition-এ বন্ধনী কোথায় তা অবান্তর |
| Distributive |
বণ্টনশীল (ডিস্ট্রিবিউটিভ) |
\(A(B+C)=AB+AC\) — linearity থেকে সরাসরি |
| Commutative |
বিনিময়যোগ্য (কমিউটেটিভ) |
\(AB=BA\) হওয়ার ধর্ম — matrix-এ সাধারণত খাটে না (জামা-কোট) |
| Identity Matrix |
আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স |
"কিছু কোরো না" matrix \(I\); \(IA=AI=A\) |
| Matrix Power |
ম্যাট্রিক্স পাওয়ার |
\(A^n=AA\cdots A\) — একই transformation \(n\) বার |
| Zero Divisor |
জিরো ডিভাইজর |
Nonzero \(A,B\) হয়েও \(AB=0\) হওয়া সম্ভব — সংখ্যার জগতে অসম্ভব চমক |
| Nilpotent |
নিলপোটেন্ট (শূন্যঘাতী) |
Nonzero হয়েও কোনো power শূন্য: \(M^k=0\), যদিও \(M\neq0\) |
| Angle-Addition Formula |
কোণ-যোগ সূত্র (অ্যাঙ্গেল-অ্যাডিশন) |
\(R_\alpha R_\beta=R_{\alpha+\beta}\) থেকে বিনামূল্যে প্রমাণিত \(\cos/\sin(\alpha+\beta)\) সূত্র |
Chapter 3.4 — Inverse Matrix: "undo" বোতাম
| English Term |
বাংলা |
এক লাইনে অর্থ |
| Inverse Matrix |
বিপরীত ম্যাট্রিক্স (ইনভার্স ম্যাট্রিক্স) |
Transformation-এর undo বোতাম: \(A^{-1}A=AA^{-1}=I\) |
| Invertible |
বিপরীতযোগ্য (ইনভার্টিবল) |
যে matrix-এর inverse আছে — তথ্য হারায় না, undo সম্ভব |
| Singular Matrix |
সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স |
\(ad-bc=0\)-ওয়ালা matrix — space চ্যাপ্টা করে, inverse নেই |
| Non-singular |
নন-সিঙ্গুলার |
Invertible-এর আরেক নাম; \(\det\neq0\) |
| Gauss-Jordan Elimination |
গাউস-জর্ডান এলিমিনেশন |
\([A\mid I]\to[I\mid A^{-1}]\) পথে বড় matrix-এর inverse বের করার রাজপথ |
| Socks-Shoes Rule |
মোজা-জুতা নিয়ম (সকস-শুজ) |
\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) — খোলার ক্রম পরার ঠিক উল্টো |
| Inverse Kinematics |
ইনভার্স কাইনেম্যাটিক্স |
"হাত ওই বিন্দুতে নিতে জয়েন্ট কত ঘোরাব" — forward-এর উল্টোযাত্রা |
| Normal Equation |
নরমাল ইকুয়েশন |
Linear regression-এর \(\hat{\boldsymbol\beta}=(X^\top X)^{-1}X^\top\mathbf{y}\) — মাঝে inverse |
| Involution |
ইনভোলিউশন |
নিজের inverse নিজেই: \(A^2=I\) (যেমন যেকোনো reflection) |
| Determinant (2×2) |
ডিটারমিন্যান্ট |
\(ad-bc\) — invertible কিনা তার এক-সংখ্যার রোগ-নির্ণয়, আর area factor |
| solve vs inv |
সলভ বনাম ইনভ |
কোডে \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) সমাধানে inv(A)@b নয়, solve(A,b) — দ্রুত ও stable |
Chapter 3.5 — Transpose, Trace ও Special Matrices
| English Term |
বাংলা |
এক লাইনে অর্থ |
| Transpose |
ট্রান্সপোজ |
Row ↔ column অদলবদল: \((A^\top)_{ij}=A_{ji}\); diagonal-এ আয়না |
| Trace |
ট্রেস |
Diagonal entry-দের যোগফল; \(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\) — বিশৃঙ্খলায় টিকে থাকা সংখ্যা |
| Symmetric Matrix |
সিমেট্রিক ম্যাট্রিক্স (প্রতিসম) |
\(S=S^\top\); \(A^\top A\) সবসময় symmetric — Data Science-এর ব্যস্ততম চেহারা |
| Permutation Matrix |
পারমুটেশন ম্যাট্রিক্স |
Identity-র row ঘুঁটে বানানো; entry-দের জায়গা বদলায়, \(P^\top=P^{-1}\) |
| Triangular Matrix |
ট্রায়াঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স |
Diagonal-এর এক পাশ পুরো \(0\); diagonal nonzero ⟺ invertible |
| Block Matrix |
ব্লক ম্যাট্রিক্স |
বড় matrix-কে ছোট block-এ ভেঙে "সংখ্যার মতো" গুণ (ক্রম অটুট রেখে) |
| Main Diagonal |
মূল কর্ণ (মেইন ডায়াগোনাল) |
\(a_{11},a_{22},\dots\) — উপরে-বাঁ থেকে নিচে-ডান তির্যক লাইন |
| Antisymmetric Matrix |
অ্যান্টিসিমেট্রিক ম্যাট্রিক্স |
\(K^\top=-K\); diagonal-এ বাধ্যতামূলক \(0\) |
| Outer Product |
আউটার প্রোডাক্ট (বাইরের গুণফল) |
\(\mathbf{x}\mathbf{y}^\top\) — দুই vector থেকে আস্ত (rank-1, singular) matrix |
| Inner Product |
ইনার প্রোডাক্ট (dot product) |
\(\mathbf{x}^\top\mathbf{y}\) — dot product-এর matrix-পোশাক, ফল একটা সংখ্যা |
| Block Diagonal |
ব্লক ডায়াগোনাল |
\(\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}\) — দুটো স্বাধীন transformation পাশাপাশি |
| Covariance Matrix |
কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স |
\(X^\top X\)-জাত feature-সম্পর্কের symmetric টেবিল; PCA-র শুরু |
| English Term |
বাংলা |
এক লাইনে অর্থ |
| Linear Transformation |
রৈখিক রূপান্তর (লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশন) |
Additivity ও homogeneity — দুই শর্ত মানা function; প্রতিটাই matrix |
| Additivity |
অ্যাডিটিভিটি (যোজনশীলতা) |
শর্ত ১: \(L(\mathbf{u}+\mathbf{v})=L(\mathbf{u})+L(\mathbf{v})\) — যোগে কারচুপি নেই |
| Homogeneity |
হোমোজেনিটি (সমমাত্রিকতা) |
শর্ত ২: \(L(c\mathbf{v})=cL(\mathbf{v})\) — স্কেলে কারচুপি নেই |
| Superposition |
উপরিপাতন (সুপারপজিশন) |
এক লাইনে দুই শর্ত: \(L(a\mathbf{u}+b\mathbf{v})=aL(\mathbf{u})+bL(\mathbf{v})\) |
| Affine |
অ্যাফাইন |
Linear + translation (\(W\mathbf{x}+\mathbf{b}\)); origin সরে, তাই linear নয় |
| Translation |
ট্রান্সলেশন (সরণ) |
সবাইকে এক দিকে ঠেলা \(\mathbf{v}\mapsto\mathbf{v}+\mathbf{c}\) — origin নড়ায়, nonlinear |
| Origin Test |
অরিজিন টেস্ট |
\(L(\mathbf{0})\neq\mathbf{0}\) হলেই বাতিল — সস্তা ও ধারালো linearity-জেরা |
| Linear Operator |
লিনিয়ার অপারেটর |
Vector space-এর ওপর linear map; derivative, integral, expectation সবাই |
| Homogeneous Coordinates |
হোমোজিনিয়াস কোঅর্ডিনেট |
এক মাত্রা বাড়িয়ে translation-কেও matrix-এ ধরার graphics-কৌশল |
| Functional |
ফাংশনাল |
\(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) linear map — কোনো fixed vector-এর সাথে dot product |
| Standard Basis |
স্ট্যান্ডার্ড বেসিস |
\(\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n\) — সুবিধাজনক, তবে যেকোনো স্বাধীন সেটই চলে |
| Convolution |
কনভোলিউশন |
Blur/sharpen/edge-detect image filter — linear, তাই (বিশাল) matrix-রূপে লেখা যায় |