Part II Glossary — Linear Systems-এর সব নতুন Term

Part II (Chapter 2.1–2.5)-এ প্রথমবার আসা English term-দের এক-নজর তালিকা। কোনো শব্দ ভুলে গেলে এখানে ফিরে এসো — প্রতিটার পাশে কোথায় বিস্তারিত আছে তা chapter-ভাগে সাজানো।

Chapter 2.1 — System of Linear Equations

English Term	বাংলা	এক লাইনে অর্থ
Linear Equation	রৈখিক সমীকরণ	যে সমীকরণে variable-রা শুধু প্রথম ঘাতে, শুধু সংখ্যার সাথে গুণ হয়: \(a_1x_1+\cdots+a_kx_k=b\)
System of Linear Equations	রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম	একাধিক linear equation, যাদের সব একসাথে মানতে হবে
Unknown / Variable	অজানা / চলক	যে রাশিগুলোর মান খুঁজছি (\(x_1,\dots,x_k\))
Coefficient	সহগ	variable-এর সাথে গুণ হওয়া জানা সংখ্যা
Constant Term	ধ্রুবক পদ	সমীকরণের ডানপাশের জানা সংখ্যা \(b\)
Solution	সমাধান	variable-দের এমন মানগুচ্ছ যা প্রতিটা equation সত্য করে
Solution Set	সমাধান সেট	সব সমাধানের সেট
Matrix Equation	ম্যাট্রিক্স সমীকরণ	সিস্টেমের \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) পোশাক — coefficient-রা \(A\)-তে, unknown-রা \(\mathbf{x}\)-এ
Augmented Matrix	অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্স	coefficient আর \(\mathbf{b}\) একসাথে এক টেবিলে: \((A\,\vert\,\mathbf{b})\); প্রতি row = এক equation
Row Picture	রো পিকচার	প্রতিটা equation-কে লাইন/প্লেন হিসেবে আঁকা; সমাধান = সবার ছেদ
Column Picture	কলাম পিকচার	সমাধানকে দেখা \(A\)-র column-দের মিশ্রণের রেসিপি হিসেবে — কোন column কতটুকু নিলে \(\mathbf{b}\) পাই
Intersection Point	ছেদবিন্দু	যে বিন্দুতে লাইন/প্লেনরা মেলে — row picture-এ সমাধানের চেহারা
Plane	সমতল	3D-তে এক linear equation-এর আঁকা চ্যাপ্টা পৃষ্ঠ
Trichotomy	তিন-ভাগ্য নিয়ম	linear system-এর সমাধান-সংখ্যা \(0\), \(1\), নয়তো \(\infty\) — মাঝামাঝি কিছু নেই
Consistent	সামঞ্জস্যপূর্ণ	যে সিস্টেমের অন্তত একটা সমাধান আছে
Inconsistent	অসামঞ্জস্যপূর্ণ	যে সিস্টেমের কোনো সমাধান নেই
Homogeneous	সমসত্ত্ব	ডানপাশ শূন্য: \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\); কখনো সমাধানহীন হয় না
Trivial Solution	তুচ্ছ সমাধান	homogeneous সিস্টেমের "সবাই শূন্য" সমাধান \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\)
Singular	সিঙ্গুলার	যে matrix-এর column-রা একে অন্যের ছায়া — একক সমাধান দেওয়ার ক্ষমতা নেই

Chapter 2.2 — Gaussian Elimination ও RREF

English Term	বাংলা	এক লাইনে অর্থ
Elementary Row Operation (ERO)	এলিমেন্টারি রো অপারেশন	সমাধান সেট না বদলানো তিন চাল: swap, scale, add
Swap	অদলবদল	দুটো row-এর জায়গা বদল: \(R_i \leftrightarrow R_j\)
Scale	মাপবদল	একটা row-কে nonzero সংখ্যা দিয়ে গুণ: \(R_i \leftarrow cR_i\)
Add	গুণিতক-যোগ	এক row-এর গুণিতক আরেক row-তে যোগ: \(R_i \leftarrow R_i + cR_j\)
Row Equivalent	রো ইকুইভ্যালেন্ট	দুটো matrix, যাদের একটাকে EROs দিয়ে অন্যটা বানানো যায় (চিহ্ন \(\sim\))
Gaussian Elimination	গাউসিয়ান এলিমিনেশন	EROs দিয়ে সিস্টেমকে ধাপে ধাপে সিঁড়ি-আকারে সরল করার যান্ত্রিক অ্যালগরিদম
Row Echelon Form (REF)	রো এশেলন ফর্ম	forward pass শেষের সিঁড়ি-আকার — pivot-এর নিচে সব শূন্য, উপরে তখনো নয়
Reduced Row Echelon Form (RREF)	রিডিউসড রো এশেলন ফর্ম	সবচেয়ে পরিষ্কার রূপ: pivot \(=1\), pivot column-এ একা, সিঁড়ি ডানে নামে, শূন্য row নিচে — এবং unique
Pivot	পিভট	প্রতি row-এর প্রথম nonzero entry (RREF-এ \(1\)); সিঁড়ির প্রতিটা ধাপ
Pivot Column	পিভট কলাম	যে column-এ pivot আছে
Free Variable	মুক্ত চলক	pivot-হীন column-এর variable — মান খুশিমতো, parameter হয়ে সমাধানে ঘোরে
Forward Pass	ফরোয়ার্ড পাস	elimination-এর প্রথম অর্ধ: উপর থেকে নিচে, pivot-এর নিচ শূন্য করা
Backward Pass	ব্যাকওয়ার্ড পাস	দ্বিতীয় অর্ধ: নিচ থেকে উপরে, pivot-এর উপরও শূন্য করা → RREF
Partial Pivoting	পার্শিয়াল পিভটিং	নির্ভুলতার জন্য column-এর সবচেয়ে বড় entry-কে swap করে pivot বানানো
Rank	র‍্যাঙ্ক	pivot-সংখ্যা = matrix-এর "স্বাধীন তথ্যের" পরিমাণ (পুরো গল্প Part IV-এ)

Chapter 2.3 — Elementary Matrices ও LU Decomposition

English Term	বাংলা	এক লাইনে অর্থ
Elementary Matrix	এলিমেন্টারি ম্যাট্রিক্স	\(I\)-র উপর একটা ERO করা matrix; \(EA\) = সেই ERO করা \(A\) — "চাল দেওয়া = বাঁ থেকে গুণ"
Inverse	ইনভার্স	matrix-এর "undo": \(E^{-1}E = I\); প্রতিটা elementary matrix-এর inverse-ও elementary
Triangular Matrix	ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স	diagonal-এর এক পাশে সব শূন্য এমন matrix
Lower Triangular	নিম্ন-ত্রিভুজাকার	diagonal-এর উপরে সব শূন্য
Upper Triangular	ঊর্ধ্ব-ত্রিভুজাকার	diagonal-এর নিচে সব শূন্য
Unit Lower Triangular	ইউনিট নিম্ন-ত্রিভুজাকার	lower triangular যার diagonal-এ সব \(1\) — LU-র \(L\) এই জাতের
LU Decomposition	এল-ইউ বিশ্লেষণ	\(A = LU\): elimination-এর চালের খাতা (\(L\)) × ফলাফল (\(U\)) — solve-বান্ধব ফরম্যাট
Multiplier	গুণক	elimination-এ \(R_i \leftarrow R_i - \ell_{ij}R_j\) চালের সেই \(\ell_{ij}\) — সোজা চিহ্নে \(L\)-এর \((i,j)\) ঘরে বসে
Forward Substitution	ফরোয়ার্ড সাবস্টিটিউশন	\(L\mathbf{c}=\mathbf{b}\) উপর থেকে নিচে বসিয়ে-বসিয়ে solve
Back Substitution	ব্যাক সাবস্টিটিউশন	\(U\mathbf{x}=\mathbf{c}\) নিচ থেকে উপরে বসিয়ে-বসিয়ে solve
Permutation Matrix	পারমুটেশন ম্যাট্রিক্স	identity-র row-রা এলোমেলো করা matrix; সব row swap একসাথে জমা রাখে (\(PA=LU\))
Cholesky Decomposition	কোলেস্কি বিশ্লেষণ	positive definite matrix-এর জন্য LU-র সস্তা ভাই (Part VI ও VIII-এ)
Determinant	নির্ণায়ক	triangular matrix-এ diagonal-এর গুণফল; LU দিয়ে দ্রুত হিসাব হয় (Part VI-এ)

Chapter 2.4 — Solution Set-এর Geometry

English Term	বাংলা	এক লাইনে অর্থ
Hyperplane	হাইপারপ্লেন	\(\mathbb{R}^n\)-এ এক linear equation-এর আঁকা \((n-1)\)-মাত্রিক চ্যাপ্টা জিনিস — লাইন/প্লেনের বড় ভাই
Degrees of Freedom	স্বাধীনতার মাত্রা	কয়টা সংখ্যা স্বাধীনভাবে বাছা যায়; প্রতিটা কার্যকর শর্ত একটা করে খায়
Homogeneous System	সমসত্ত্ব সিস্টেম	\(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) — প্রতিটা সিস্টেমের "ছায়াসঙ্গী"
Particular Solution (\(\mathbf{x}^P\))	নির্দিষ্ট সমাধান	\(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\)-এর যেকোনো একটা সমাধান — সেটের "দাঁড়ানোর জায়গা"
Homogeneous Solution (\(\mathbf{x}^H\))	সমসত্ত্ব সমাধান	\(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\)-এর সমাধান — সেটের "হাঁটার দিক"; মুকুট-উপপাদ্য: সমাধান \(=\mathbf{x}^P+\mathbf{x}^H\)
Null Space	নাল স্পেস	homogeneous সমাধানদের গোটা জগৎ — মিশ্রণে বন্ধ, origin-ভেদী (Part IV-এর নায়ক)
Subspace	সাবস্পেস	যোগ ও স্কেলার-গুণে বন্ধ, origin-ধারী সেট — null space তার প্রথম উদাহরণ (Part IV-এ সংজ্ঞা)
Affine Combination	অ্যাফাইন কম্বিনেশন	\(c\mathbf{u}+d\mathbf{v}\) যেখানে \(c+d=1\) — সমাধান-জোড়ার এমন মিশ্রণ আবার সমাধান
Affine Set / Flat	অ্যাফাইন সেট / ফ্ল্যাট	subspace-এর সরানো কপি — লাইন/প্লেন-জাতীয়, origin দিয়ে না-ও যেতে পারে
Solution Manifold	সলিউশন ম্যানিফোল্ড	ML-এ loss-শূন্য parameter-দের বিশাল উঁচু-মাত্রার সমাধান সেট
Rank–Nullity Theorem	র‍্যাঙ্ক–নালিটি উপপাদ্য	\(\dim(\text{solution set}) = \#\text{variables} - \#\text{pivots}\) — এখানে প্রথম ঝলক (Part IV-এ পূর্ণরূপ)

Chapter 2.5 — A Taste of the Simplex Method

English Term	বাংলা	এক লাইনে অর্থ
Linear Programming (LP)	লিনিয়ার প্রোগ্রামিং	linear শর্তের মধ্যে linear রাশির সেরা মান খোঁজার সমস্যা; "programming" = পরিকল্পনা
Inequality	অসমতা	\(\le, \ge\)-ওয়ালা শর্ত — সমাধান এক পাশজুড়ে অসংখ্য
Decision Variable	সিদ্ধান্ত চলক	যে সংখ্যাগুলো আমরা বেছে নিই (কত রুটি, কত কলা)
Objective Function	লক্ষ্য ফাংশন	যে linear রাশি minimize/maximize করতে চাই
Constraint	শর্ত	decision variable-দের উপর linear সমতা/অসমতা
Feasible Solution	সম্ভাব্য সমাধান	সব শর্ত-মানা একটা বিন্দু
Feasible Region	সম্ভাব্য অঞ্চল	সব feasible বিন্দুর সেট — half-plane-দের ছেদ
Optimal Solution / Optimum	সেরা সমাধান	feasible region-এর যে বিন্দুতে objective সেরা
Half-plane / Half-space	অর্ধ-সমতল	এক inequality-র আঁকা ছবি: hyperplane-এর এক পাশ (hyperplane-সহ)
Vertex	শীর্ষবিন্দু / কোণা	feasible region-এর কোণা — দুই (বা বেশি) constraint-সীমানার ছেদ; optimum এখানেই বসে
Polytope	পলিটোপ	বেশি মাত্রায় feasible region-এর চেহারা — চ্যাপ্টা মুখ, সোজা কিনারা, ধারালো কোণার "কাটা হীরা"
Convex	উত্তল	সেটের যেকোনো দুই বিন্দুর সংযোগ-রেখা পুরোটা সেটের ভেতরে — খাঁজ/গর্তহীন
Iso-cost Line (Level Line)	সম-খরচ লাইন	যে লাইনের সব বিন্দুতে objective-এর মান সমান; এটাকে ঠেলেই optimum খোঁজা
Simplex Method	সিমপ্লেক্স পদ্ধতি	কোণা থেকে প্রতিবেশী কোণায় হাঁটা, প্রতি হপে উন্নতি — থামলেই optimum
Slack Variable	স্ল্যাক চলক	inequality-কে equation বানানোর সাহায্যকারী: \(x+y\le22 \iff x+y+s=22,\ s\ge0\)
Tableau	টেবলো	simplex-এর কাজের টেবিল — augmented matrix-এর আত্মীয়, যার উপর pivot/row operation চলে
Infeasible	অসম্ভাব্য	শর্তরা পরস্পরবিরোধী — feasible region-ই খালি, optimum নেই
Unbounded	অসীমাবদ্ধ	region খোলা দিকে objective ভালো হতেই থাকে — সসীম optimum নেই
Interior Point Method	ইন্টেরিয়র পয়েন্ট পদ্ধতি	simplex-এর প্রতিদ্বন্দ্বী — কিনারা ধরে নয়, region-এর ভেতর দিয়ে optimum-এ যায়
Integer Programming	ইন্টিজার প্রোগ্রামিং	variable-দের পূর্ণসংখ্যা হতে হবে এমন LP-র ভাই — দেখতে কাছের, কঠিনে বহুদূর